3. Si $$ T(x, y, z)=(x-y+z, x+y-z, x+y+z) $$ y $$ S(x, y, z)=(x-y, y+z, x+z) $$ a. Escribe las dos transformaciones usando matrices b. Calcula las composiciones ToS y $$ S^{\circ} T $$ usando matrices.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

**a. Representación matricial de las transformaciones**

Para la transformación  
$$
T(x,y,z)=(x-y+z,\; x+y-z,\; x+y+z)
$$
observamos que las coordenadas se obtienen como combinaciones lineales de $$x$$, $$y$$ y $$z$$. Así, la matriz asociada a $$T$$ es:
$$
A = \begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 \
1 & 1 & -1 \
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}.
$$

Para la transformación  
$$
S(x,y,z)=(x-y,\; y+z,\; x+z)
$$
vemos que la primera coordenada es $$1\cdot x - 1\cdot y + 0\cdot z$$, la segunda es $$0\cdot x + 1\cdot y + 1\cdot z$$ y la tercera es $$1\cdot x + 0\cdot y + 1\cdot z$$. Por lo tanto, la matriz asociada a $$S$$ es:
$$
B = \begin{pmatrix}
1 & -1 & 0 \
0 & 1 & 1 \
1 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
$$

**b. Composición de las transformaciones usando matrices**

Recordemos que la composición $$T\circ S$$ se representa multiplicando la matriz de $$T$$ por la de $$S$$:
$$
T\circ S \longleftrightarrow A\cdot B.
$$

Calculamos $$A\cdot B$$:

Sea $$A = \begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 \
1 & 1 & -1 \
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}$$ y 
$$B = \begin{pmatrix}
1 & -1 & 0 \
0 & 1 & 1 \
1 & 0 & 1
\end{pmatrix}$$.

- Primer renglón de $$A$$ por las columnas de $$B$$:
  - Elemento (1,1): $$1\cdot1 + (-1)\cdot0 + 1\cdot1 = 1+0+1=2$$.
  - Elemento (1,2): $$1\cdot(-1) + (-1)\cdot1 + 1\cdot0 = -1-1+0=-2$$.
  - Elemento (1,3): $$1\cdot0 + (-1)\cdot1 + 1\cdot1 = 0-1+1=0$$.

- Segundo renglón de $$A$$ por las columnas de $$B$$:
  - Elemento (2,1): $$1\cdot1 + 1\cdot0 + (-1)\cdot1 = 1+0-1=0$$.
  - Elemento (2,2): $$1\cdot(-1) + 1\cdot1 + (-1)\cdot0 = -1+1+0=0$$.
  - Elemento (2,3): $$1\cdot0 + 1\cdot1 + (-1)\cdot1 = 0+1-1=0$$.

- Tercer renglón de $$A$$ por las columnas de $$B$$:
  - Elemento (3,1): $$1\cdot1 + 1\cdot0 + 1\cdot1 = 1+0+1=2$$.
  - Elemento (3,2): $$1\cdot(-1) + 1\cdot1 + 1\cdot0 = -1+1+0=0$$.
  - Elemento (3,3): $$1\cdot0 + 1\cdot1 + 1\cdot1 = 0+1+1=2$$.

Con lo anterior, la matriz asociada a $$T\circ S$$ es:
$$
A\cdot B = \begin{pmatrix}
2 & -2 & 0 \
0 & 0 & 0 \
2 & 0 & 2
\end{pmatrix}.
$$

La composición $$S\circ T$$ se obtiene multiplicando la matriz de $$S$$ por la de $$T$$:
$$
S\circ T \longleftrightarrow B\cdot A.
$$

Calculamos $$B\cdot A$$:

Con 
$$
B = \begin{pmatrix}
1 & -1 & 0 \
0 & 1 & 1 \
1 & 0 & 1
\end{pmatrix} \quad \text{y} \quad A = \begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 \
1 & 1 & -1 \
1 & 1 & 1
\end{pmatrix},
$$
realizamos la multiplicación:

- Primer renglón de $$B$$ por las columnas de $$A$$:
  - Elemento (1,1): $$1\cdot1 + (-1)\cdot1 + 0\cdot1 = 1-1+0=0$$.
  - Elemento (1,2): $$1\cdot(-1) + (-1)\cdot1 + 0\cdot1 = -1-1+0=-2$$.
  - Elemento (1,3): $$1\cdot1 + (-1)\cdot(-1) + 0\cdot1 = 1+1+0=2$$.

- Segundo renglón de $$B$$ por las columnas de $$A$$:
  - Elemento (2,1): $$0\cdot1 + 1\cdot1 + 1\cdot1 = 0+1+1=2$$.
  - Elemento (2,2): $$0\cdot(-1) + 1\cdot1 + 1\cdot1 = 0+1+1=2$$.
  - Elemento (2,3): $$0\cdot1 + 1\cdot(-1) + 1\cdot1 = 0-1+1=0$$.

- Tercer renglón de $$B$$ por las columnas de $$A$$:
  - Elemento (3,1): $$1\cdot1 + 0\cdot1 + 1\cdot1 = 1+0+1=2$$.
  - Elemento (3,2): $$1\cdot(-1) + 0\cdot1 + 1\cdot1 = -1+0+1=0$$.
  - Elemento (3,3): $$1\cdot1 + 0\cdot(-1) + 1\cdot1 = 1+0+1=2$$.

Así, la matriz asociada a $$S\circ T$$ es:
$$
B\cdot A = \begin{pmatrix}
0 & -2 & 2 \
2 & 2 & 0 \
2 & 0 & 2
\end{pmatrix}.
$$
**a. Matrices de las transformaciones** - **Transformación $$T$$:** $$ T(x, y, z) = (x - y + z, x + y - z, x + y + z) $$ Matriz $$A$$: $$ A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \ 1 & 1 & -1 \ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} $$ - **Transformación $$S$$:** $$ S(x, y, z) = (x - y, y + z, x + z) $$ Matriz $$B$$: $$ B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \ 0 & 1 & 1 \ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$ **b. Composiciones de transformaciones** - **$$T \circ S$$:** $$ A \cdot B = \begin{pmatrix} 2 & -2 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix} $$ - **$$S \circ T$$:** $$ B \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 2 \ 2 & 2 & 0 \ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix} $$

Si y
a. Escribe las dos transformaciones usando matrices
b. Calcula las composiciones ToS y usando matrices.

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