Determine el volumen del sólido generado al rotar el área bajo la curva $$ y = \sin(x) $$ desde $$ x = 0 $$ hasta $$ x = \frac{\pi}{2} $$ alrededor del eje x.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Para determinar el volumen del sólido generado al rotar el área bajo la curva $$ y = \sin(x) $$ desde $$ x = 0 $$ hasta $$ x = \frac{\pi}{2} $$ alrededor del eje $$ x $$, utilizamos el método de los discos.

La fórmula para el volumen $$ V $$ mediante este método es:

$$
V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx
$$

Donde:
- $$ f(x) = \sin(x) $$
- $$ a = 0 $$
- $$ b = \frac{\pi}{2} $$

Sustituyendo los valores, tenemos:

$$
V = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(x) \, dx
$$

Para resolver la integral de $$ \sin^2(x) $$, usamos la identidad trigonométrica:

$$
\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}
$$

Entonces, la integral se convierte en:

$$
V = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos(2x)}{2} \, dx = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos(2x)) \, dx
$$

Integrando término a término:

$$
\int (1 - \cos(2x)) \, dx = \int 1 \, dx - \int \cos(2x) \, dx = x - \frac{\sin(2x)}{2} + C
$$

Evaluando entre $$ 0 $$ y $$ \frac{\pi}{2} $$:

$$
V = \frac{\pi}{2} \left[ \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\sin(\pi)}{2} \right) - \left( 0 - \frac{\sin(0)}{2} \right) \right]
$$

Sabemos que $$ \sin(\pi) = 0 $$ y $$ \sin(0) = 0 $$, por lo que:

$$
V = \frac{\pi}{2} \left( \frac{\pi}{2} \right) = \frac{\pi^2}{4}
$$

**Conclusión:** El volumen del sólido generado es $$ \frac{\pi^2}{4} $$.
El volumen del sólido generado es $$ \frac{\pi^2}{4} $$.

Determine el volumen del sólido generado al rotar el área bajo la curva desde hasta alrededor del eje x.

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

Extra Insights

preguntas relacionadas

Latest Calculus Questions