Calcular: a) $$ \left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 4 \ 5 & 3 & 6\end{array} ight]\left[\begin{array}{rrrr}1 & 0 & 2 & 4 \ 3 & -1 & 0 & 1 \ 0 & 2 & 1 & 3\end{array} ight] \quad \begin{aligned} x-y-3 z & =-5 \ 2 x-y-4 z & =-8 \ x+y-z & =-1\end{aligned} $$

Question

Calcular: a) $$ \left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 4 \ 5 & 3 & 6\end{array}ight]\left[\begin{array}{rrrr}1 & 0 & 2 & 4 \ 3 & -1 & 0 & 1 \ 0 & 2 & 1 & 3\end{array}ight] \quad \begin{aligned} x-y-3 z & =-5 \ 2 x-y-4 z & =-8 \ x+y-z & =-1\end{aligned} $$

UpStudy AI · Accepted Answer

$$
\textbf{Producto de matrices:}
$$

Tenemos las matrices

$$
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 4 \ 5 & 3 & 6 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 4 \ 3 & -1 & 0 & 1 \ 0 & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}.
$$

El producto $$C = A \cdot B$$ se calcula como

$$
C_{ij} = \sum_{k=1}^{3} A_{ik} \, B_{kj}.
$$

Para la primera fila de $$C$$:

- $$C_{11} = 2\cdot1 + 1\cdot3 + 4\cdot0 = 2 + 3 + 0 = 5.$$
- $$C_{12} = 2\cdot0 + 1\cdot(-1) + 4\cdot2 = 0 - 1 + 8 = 7.$$
- $$C_{13} = 2\cdot2 + 1\cdot0 + 4\cdot1 = 4 + 0 + 4 = 8.$$
- $$C_{14} = 2\cdot4 + 1\cdot1 + 4\cdot3 = 8 + 1 + 12 = 21.$$

Para la segunda fila de $$C$$:

- $$C_{21} = 5\cdot1 + 3\cdot3 + 6\cdot0 = 5 + 9 + 0 = 14.$$
- $$C_{22} = 5\cdot0 + 3\cdot(-1) + 6\cdot2 = 0 - 3 + 12 = 9.$$
- $$C_{23} = 5\cdot2 + 3\cdot0 + 6\cdot1 = 10 + 0 + 6 = 16.$$
- $$C_{24} = 5\cdot4 + 3\cdot1 + 6\cdot3 = 20 + 3 + 18 = 41.$$

Por lo tanto, el producto es

$$
A \cdot B = \begin{pmatrix} 5 & 7 & 8 & 21 \ 14 & 9 & 16 & 41 \end{pmatrix}.
$$

$$
\textbf{Sistema de ecuaciones:}
$$

El sistema es

$$
\begin{aligned}
x - y - 3z &= -5 \quad (1)\[6mm]
2x - y - 4z &= -8 \quad (2)\[6mm]
x + y - z &= -1 \quad (3)
\end{aligned}
$$

**Paso 1. Restar (1) de (2):**

$$
(2x - y - 4z) - (x - y - 3z) = -8 - (-5)
$$
$$
2x - y - 4z - x + y + 3z = -3
$$
$$
x - z = -3 \quad \Longrightarrow \quad x = z - 3. \quad (4)
$$

**Paso 2. Sumar (1) y (3):**

$$
(x - y - 3z) + (x + y - z) = -5 + (-1)
$$
$$
2x - 4z = -6 \quad \Longrightarrow \quad x - 2z = -3 \quad \Longrightarrow \quad x = 2z - 3. \quad (5)
$$

**Paso 3. Igualar (4) y (5):**

$$
z - 3 = 2z - 3
$$
$$
z - 3 - 2z + 3 = 0 \quad \Longrightarrow \quad -z = 0 \quad \Longrightarrow \quad z = 0.
$$

**Paso 4. Sustituir $$z = 0$$ en (4):**

$$
x = 0 - 3 = -3.
$$

**Paso 5. Sustituir $$x = -3$$ y $$z = 0$$ en (3):**

$$
-3 + y - 0 = -1 \quad \Longrightarrow \quad y = -1 + 3 = 2.
$$

La solución del sistema es

$$
x = -3,\quad y = 2,\quad z = 0.
$$

$$
\textbf{Respuesta final:}
$$
$$
A \cdot B = \begin{pmatrix} 5 & 7 & 8 & 21 \ 14 & 9 & 16 & 41 \end{pmatrix}, \quad x = -3,\quad y = 2,\quad z = 0.
$$
El producto de las matrices es: $$ \begin{pmatrix} 5 & 7 & 8 & 21 \ 14 & 9 & 16 & 41 \end{pmatrix} $$ La solución del sistema de ecuaciones es: $$ x = -3,\quad y = 2,\quad z = 0 $$

Calcular: a)

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