V $$ \{x: x5\}, \mathrm{B}=\{ $$ odd numbers $$ \} $$ and $$ \mathrm{C}=\{ $$ prime numbers $$ \} $$ then, निएएक समूहहरलाई सूचीकरण विधिद्रारा लेखनुहोस् । (Write the given sets by listing method.) [1] विए्ए एको समूहहललाई भेनचिबमा देखाउनुहोस् । (Show the given sets in a Venn-diagram.) [1] प्रशाणित गर्नुहोस् (Prove that): $$ A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C) $$ [3] a. कुन-कुन समूहले एकात्मक समूह जनाउँदच र किन ? Which of the sets represent singleton sets and why?

Question

V $$ \{x: x<10, x \in \mathrm{~N}\}, \mathrm{A}=\{x: x>5\}, \mathrm{B}=\{ $$ odd numbers $$ \} $$ and $$ \mathrm{C}=\{ $$ prime numbers $$ \} $$ then, निएएक समूहहरलाई सूचीकरण विधिद्रारा लेखनुहोस् । (Write the given sets by listing method.) [1] विए्ए एको समूहहललाई भेनचिबमा देखाउनुहोस् । (Show the given sets in a Venn-diagram.) [1] प्रशाणित गर्नुहोस् (Prove that): $$ A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C) $$ [3] a. कुन-कुन समूहले एकात्मक समूह जनाउँदच र किन ? Which of the sets represent singleton sets and why?

UpStudy AI · Accepted Answer

### 1. समूहहरूलाई सूचीकरण विधिद्वारा लेखनुहोस् (Listing the Given Sets)

दीएको समूहहरूलाई सूचीकरण विधिद्वारा निम्नानुसार लेख्न सकिन्छ:

- **V** = { $$x$$ : $$x < 10$$, $$x \in \mathbb{N}$$ } = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
  
- **A** = { $$x$$ : $$x > 5$$ } = {6, 7, 8, 9}  
  *(यहाँ हामीले $$A$$ लाई $$V$$ को सबसेट मान्यौं)*

- **B** = { "बेजोड संख्या" } = {1, 3, 5, 7, 9}

- **C** = { "अविभाज्य संख्या" } = {2, 3, 5, 7}

### 2. वीन-डायग्राममा समूहहरू देखाउनुहोस् (Venn Diagram)

वीन-डायग्राममा $$ A $$, $$ B $$, र $$ C $$ लाई देखाउनको लागि:

1. **विनियास**:
   - सबै समूहहरू $$ V $$ भित्र पर्दछन्।
   - तीनवटा वृत्तहरू $$ A $$, $$ B $$, र $$ C $$ रूपमा ओभरलैप गरिन्छन्।

2. **समूहहरूको स्थान**:
   - **A**: {6, 7, 8, 9}
   - **B**: {1, 3, 5, 7, 9}
   - **C**: {2, 3, 5, 7}

3. **ओभरलाप**:
   - **A ∩ B** = {7, 9}
   - **A ∩ C** = {7}
   - **B ∩ C** = {3, 5, 7}
   - **A ∩ B ∩ C** = {7}

*(यहाँ म यो पाठात्मक रूपमा विवरण मात्र दिन सक्छु; वास्तविक चित्र बनाउनको लागि, तपाईंले वीन-डायग्राम ड्रइङ उपकरण वा कागज प्रयोग गर्न सक्नुहुन्छ।)*

### 3. प्रमाण गर्नुहोस्: $$ A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) $$

यो सेटहरूको वितरण कानून (Distributive Law) लाई प्रमाणित गर्नेछौं।

**प्रमाण**:

1. **दायाँबाट बायाँमा**:
   - धारण गरौँ $$ x \in A \cap (B \cup C) $$
   - तब, $$ x \in A $$ र $$ x \in (B \cup C) $$
   - अर्थात्, $$ x \in A $$ र ( $$ x \in B $$ वा $$ x \in C $$ )
   - यसबाट, $$ x \in (A \cap B) $$ वा $$ x \in (A \cap C) $$
   - अतः, $$ x \in (A \cap B) \cup (A \cap C) $$

2. **बायाँबाट दायाँमा**:
   - धारण गरौँ $$ x \in (A \cap B) \cup (A \cap C) $$
   - तब, $$ x \in (A \cap B) $$ वा $$ x \in (A \cap C) $$
   - अर्थात्, ( $$ x \in A $$ र $$ x \in B $$ ) वा ( $$ x \in A $$ र $$ x \in C $$ )
   - यसबाट, $$ x \in A $$ र ( $$ x \in B $$ वा $$ x \in C $$ )
   - अतः, $$ x \in A \cap (B \cup C) $$

**निष्कर्ष**: हाम्रा लागि, $$ A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) $$ सिद्ध भयो।

### 4. कुन-कुन समूहले एकएकात्मक समूह जनाउँछन् र किन? (Which of the Sets are Singleton Sets and Why?)

**उत्तर**:

**एकएकात्मक समूह (Singleton Set)** भनेको त्यस्तो समूह हो जसमा केवल एकवटा मात्र तत्व हुन्छ।

दीएको समूहहरूको समीक्षा गर्दा:

- **V** = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} → ९ तत्व
- **A** = {6, 7, 8, 9} → ४ तत्व
- **B** = {1, 3, 5, 7, 9} → ५ तत्व
- **C** = {2, 3, 5, 7} → ४ तत्व

यी मध्ये कुनै पनि समूहमा केवल एकवटा मात्र तत्व छैन। त्यसैले, **V**, **A**, **B**, र **C** मध्ये कुनै पनि एकएकात्मक समूह छैन।

**निष्कर्ष**: दिएका समूहहरू मध्ये कुनै पनि एकएकात्मक समूह होइन, किनकि प्रत्येक समूहमा एक भन्दा बढी तत्वहरू छन्।
**1. Listing the Sets:** - **V** = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} - **A** = {6, 7, 8, 9} - **B** = {1, 3, 5, 7, 9} - **C** = {2, 3, 5, 7} **2. Venn Diagram:** - Draw a rectangle representing set **V**. - Draw three overlapping circles inside the rectangle for sets **A**, **B**, and **C**. - Place the elements in their respective regions: - **A**: 6, 7, 8, 9 - **B**: 1, 3, 5, 7, 9 - **C**: 2, 3, 5, 7 **3. Proof:** $$ A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) $$ **4. Singleton Sets:** None of the given sets are singleton sets because each set contains more than one element.

Solución de tutoría real

Responder

Solución

The Deep Dive

preguntas relacionadas

Latest Other Questions