Diketahui sebuah algoritma rekursif yang memiliki persamaan rekurens sebagai berikut $$ T(n)=\left\{\begin{array}{cc}0, & x

Question

Diketahui sebuah algoritma rekursif yang memiliki persamaan rekurens sebagai berikut

a. Hitung kompleksitas waktu dari algoritma tersebut dengan cara mengubah domain variabe
b. Bandingkan hasil kelas asimtotik yang didapat dengan menggunakan Teorema Master!

Ask by Knight Kelley. in Indonesia

Jan 14,2025

UpStudy AI · Accepted Answer

**a. Menghitung Kompleksitas Waktu $$ T(n) $$ dengan Mengubah Domain Variabel**

Untuk menyelesaikan persamaan rekurens berikut:

$$
T(n) = 
\begin{cases} 
0, & \text{jika } n < 3 \
9 \, T\left(\frac{n}{3}\right) + n, & \text{jika } n \geq 3 
\end{cases}
$$

kita dapat menggunakan metode perubahan variabel. Misalkan kita asumsikan bahwa $$ n = 3^k $$, dimana $$ k $$ adalah tingkat rekursi. Dengan demikian, kita dapat mengganti variabel $$ n $$ menjadi $$ 3^k $$.

Substitusi ke dalam persamaan rekurens:

$$
T(3^k) = 9 \, T\left(\frac{3^k}{3}\right) + 3^k = 9 \, T(3^{k-1}) + 3^k
$$

Misalkan $$ S(k) = T(3^k) $$, maka persamaan tersebut menjadi:

$$
S(k) = 9 \, S(k-1) + 3^k
$$

Ini adalah persamaan rekurens linier non-homogen. Untuk menyelesaikannya, kita temukan solusi umum dari bagian homogen dan partikulernya.

**Bagian Homogen:**

$$
S_h(k) = 9 \, S_h(k-1)
$$

Asumsi solusi berbentuk $$ S_h(k) = C \cdot 9^k $$, dimana $$ C $$ adalah konstanta.

**Bagian Partikular:**

Kita cari solusi partikular $$ S_p(k) $$ untuk persamaan:

$$
S_p(k) = 9 \, S_p(k-1) + 3^k
$$

Kita coba bentuk solusi partikular $$ S_p(k) = A \cdot 3^k $$, dimana $$ A $$ adalah konstanta yang akan ditentukan.

Substitusi ke persamaan rekurens:

$$
A \cdot 3^k = 9 \cdot A \cdot 3^{k-1} + 3^k \
A \cdot 3^k = 3 \cdot A \cdot 3^k + 3^k \
A = 3A + 1 \
-2A = 1 \
A = -\frac{1}{2}
$$

Sehingga, solusi partikular adalah:

$$
S_p(k) = -\frac{1}{2} \cdot 3^k
$$

**Solusi Umum:**

$$
S(k) = S_h(k) + S_p(k) = C \cdot 9^k - \frac{1}{2} \cdot 3^k
$$

Kembali ke variabel asli $$ n = 3^k $$, sehingga $$ k = \log_3 n $$. Oleh karena itu:

$$
T(n) = C \cdot n^2 - \frac{1}{2} n
$$

Untuk $$ n $$ yang besar, komponen $$ n^2 $$ mendominasi, sehingga:

$$
T(n) = \mathcal{O}(n^2)
$$

**b. Perbandingan dengan Teorema Master**

Teorema Master digunakan untuk menyelesaikan rekurens dalam bentuk:

$$
T(n) = a \, T\left(\frac{n}{b}\right) + f(n)
$$

Dimana:
- $$ a = 9 $$
- $$ b = 3 $$
- $$ f(n) = n $$

Kita hitung nilai $$ \log_b a $$:

$$
\log_3 9 = 2
$$

Bandingkan $$ f(n) $$ dengan $$ n^{\log_b a} = n^2 $$:

- $$ f(n) = \mathcal{O}(n^c) $$ dengan $$ c = 1 $$
- Karena $$ c = 1 < 2 = \log_b a $$, maka sesuai Teorema Master, kasus pertama berlaku sehingga:

$$
T(n) = \Theta(n^{\log_b a}) = \Theta(n^2)
$$

**Kesimpulan:**

Baik dengan metode perubahan variabel maupun dengan menggunakan Teorema Master, kompleksitas waktu dari algoritma rekursif tersebut adalah $$ \mathcal{O}(n^2) $$.
Kompleksitas waktu algoritma tersebut adalah $$ \mathcal{O}(n^2) $$ menurut metode perubahan variabel dan Teorema Master.

Diketahui sebuah algoritma rekursif yang memiliki persamaan rekurens sebagai berikut

a. Hitung kompleksitas waktu dari algoritma tersebut dengan cara mengubah domain variabe
b. Bandingkan hasil kelas asimtotik yang didapat dengan menggunakan Teorema Master!

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

Extra Insights

preguntas relacionadas

Latest Computer Technology Questions

Diketahui sebuah algoritma rekursif yang memiliki persamaan rekurens sebagai berikut a. Hitung kompleksitas waktu dari algoritma tersebut dengan cara mengubah domain variabe b. Bandingkan hasil kelas asimtotik yang didapat dengan menggunakan Teorema Master!

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

Extra Insights

preguntas relacionadas

Latest Computer Technology Questions

Diketahui sebuah algoritma rekursif yang memiliki persamaan rekurens sebagai berikut

a. Hitung kompleksitas waktu dari algoritma tersebut dengan cara mengubah domain variabe
b. Bandingkan hasil kelas asimtotik yang didapat dengan menggunakan Teorema Master!