15. Resolver la inecuación $$ \left(x^{3}-5 x^{2}+7 x-3\right)(2-x) \geq 0 $$

Question

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La inecuación a resolver es $$ (x^{3}-5 x^{2}+7 x-3)(2-x) \geq 0 $$. Primero, identificaremos los puntos críticos donde cada factor es igual a cero.
Primero, resolvemos $$ x^{3}-5 x^{2}+7 x-3 = 0 $$ y $$ 2-x = 0 $$.
Solve the equation by following steps:
- step0: Solve for $$x$$:
  $$x^{3}-5x^{2}+7x-3=0$$
- step1: Factor the expression:
  $$\left(x-3\right)\left(x-1\right)^{2}=0$$
- step2: Separate into possible cases:
  $$\begin{align}&x-3=0\&\left(x-1\right)^{2}=0\end{align}$$
- step3: Solve the equation:
  $$\begin{align}&x=3\&x=1\end{align}$$
- step4: Rewrite:
  $$x_{1}=1,x_{2}=3$$
Solve the equation $$ 2-x=0 $$.
Solve the equation by following steps:
- step0: Solve for $$x$$:
  $$2-x=0$$
- step1: Move the constant to the right side:
  $$-x=0-2$$
- step2: Remove 0:
  $$-x=-2$$
- step3: Change the signs:
  $$x=2$$
Los puntos críticos son $$ x_{1}=1 $$, $$ x_{2}=3 $$ y $$ x=2 $$. Estos puntos dividen la recta numérica en intervalos que debemos analizar.
Los intervalos son: $$ (-\infty, 1) $$, $$ (1, 2) $$, $$ (2, 3) $$, y $$ (3, \infty) $$.
Probamos un valor de cada intervalo para determinar el signo de la expresión en esos intervalos.
Probamos los siguientes valores en cada intervalo:- Para $$ x = 0 $$ en $$ (-\infty, 1) $$
- Para $$ x = 1.5 $$ en $$ (1, 2) $$
- Para $$ x = 2.5 $$ en $$ (2, 3) $$
- Para $$ x = 4 $$ en $$ (3, \infty) $$

Ahora evaluamos la expresión $$ (x^{3}-5 x^{2}+7 x-3)(2-x) $$ en estos puntos.

1. **Para $$ x = 0 $$**:
   $$
   (0^{3}-5(0)^{2}+7(0)-3)(2-0) = (-3)(2) < 0
   $$

2. **Para $$ x = 1.5 $$**:
   $$
   (1.5^{3}-5(1.5)^{2}+7(1.5)-3)(2-1.5) = (1.875 - 11.25 + 10.5 - 3)(0.5) = (-1.875)(0.5) < 0
   $$

3. **Para $$ x = 2.5 $$**:
   $$
   (2.5^{3}-5(2.5)^{2}+7(2.5)-3)(2-2.5) = (15.625 - 31.25 + 17.5 - 3)(-0.5) = (-1.125)(-0.5) > 0
   $$

4. **Para $$ x = 4 $$**:
   $$
   (4^{3}-5(4)^{2}+7(4)-3)(2-4) = (64 - 80 + 28 - 3)(-2) = (9)(-2) < 0
   $$
Los signos en los intervalos son:
- $$ (-\infty, 1) $$: negativo
- $$ (1, 2) $$: negativo
- $$ (2, 3) $$: positivo
- $$ (3, \infty) $$: negativo

La inecuación $$ (x^{3}-5 x^{2}+7 x-3)(2-x) \geq 0 $$ se cumple en el intervalo $$ [2, 3] $$.
La solución de la inecuación es $$ x \in [2, 3] $$.

Resolver la inecuación

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