Paa determinar la ecuación de la recta tangente a la funcion:
(hipérbola)
Es necesario aplicar la derivación implicita.
Verdadero
Falso

Ask by Chavez Wilson. in Colombia

Jan 03,2025

Question

Paa determinar la ecuación de la recta tangente a la funcion: $$ x^{2}-x y-y^{2}=1,(2,1) $$ (hipérbola) Es necesario aplicar la derivación implicita. Verdadero Falso

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**Verdadero**

Para determinar la ecuación de la recta tangente a la hipérbola dada por la ecuación implícita $$ x^{2} - x y - y^{2} = 1 $$ en el punto $$(2, 1)$$, es necesario aplicar la derivación implícita.

**Pasos resumidos:**

1. **Derivación Implícita:**
   $$
   \frac{d}{dx}(x^{2}) - \frac{d}{dx}(x y) - \frac{d}{dx}(y^{2}) = \frac{d}{dx}(1)
   $$
   $$
   2x - (y + x \frac{dy}{dx}) - 2y \frac{dy}{dx} = 0
   $$
   
2. **Resolución para $$\frac{dy}{dx}$$:**
   $$
   2x - y = (x + 2y) \frac{dy}{dx}
   $$
   $$
   \frac{dy}{dx} = \frac{2x - y}{x + 2y}
   $$

3. **Evaluación en el Punto $$(2, 1)$$:**
   $$
   \frac{dy}{dx}\Big|_{(2,1)} = \frac{2(2) - 1}{2 + 2(1)} = \frac{3}{4}
   $$

4. **Ecuación de la Recta Tangente:**
   Utilizando la forma punto-pendiente:
   $$
   y - 1 = \frac{3}{4}(x - 2)
   $$
   Simplificando:
   $$
   y = \frac{3}{4}x - \frac{1}{2}
   $$

Por lo tanto, la derivación implícita es esencial para encontrar la pendiente de la recta tangente en un punto dado cuando la ecuación se presenta de forma implícita.
Es necesario aplicar la derivación implícita para determinar la ecuación de la recta tangente a la hipérbola en el punto $$(2, 1)$$.

Paa determinar la ecuación de la recta tangente a la funcion:
(hipérbola)
Es necesario aplicar la derivación implicita.
Verdadero
Falso

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