Resuelva la ecuación diferencial \( x \frac{d y}{d x}+y=0 \). Seleccione la solución general:

Para resolver la ecuación diferencial \( x \frac{d y}{d x} + y = 0 \), comenzamos reescribiéndola en una forma más manejable. Podemos separarla y obtener: \[ \frac{d y}{d x} = -\frac{y}{x} \] Esto sugiere una separación de variables. Reorganizamos: \[ \frac{d y}{y} = -\frac{d x}{x} \] Ahora, integramos ambos lados: \[ \int \frac{d y}{y} = \int -\frac{d x}{x} \] Esto da como resultado: \[ \ln |y| = -\ln |x| + C \] Despejamos \(y\): \[ |y| = e^{C} \cdot \frac{1}{|x|} \quad \Rightarrow \quad y = \frac{K}{x} \quad \text{donde } K = e^{C} \text{ es una constante.} \] Así, la solución general de la ecuación diferencial es: \[ y = \frac{K}{x} \quad (K \in \mathbb{R}) \] ¡Felicidades! Has encontrado la solución general, ¡y ahora puedes usarla para diferentes aplicaciones!