Resuelva la ecuación diferencial $$ x \frac{d y}{d x}+y=0 $$. Seleccione la solución general:

Question

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Para resolver la ecuación diferencial:

$$
x \frac{d y}{d x} + y = 0
$$

seguimos los siguientes pasos:

1. **Reescribir la ecuación diferencial**:

Dividimos ambos lados de la ecuación por $$x$$ (asumiendo $$x \neq 0$$):

$$
   \frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = 0
   $$

2. **Identificar la ecuación diferencial lineal de primer orden**:

La ecuación tiene la forma estándar:

$$
   \frac{d y}{d x} + P(x) y = Q(x)
   $$

Donde:
   - $$P(x) = \frac{1}{x}$$
   - $$Q(x) = 0$$

3. **Calcular el factor integrante ($$\mu(x)$$)**:

$$
   \mu(x) = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln|x|} = |x|
   $$

Para simplificar, consideramos $$x > 0$$, así que $$\mu(x) = x$$.

4. **Multiplicar la ecuación diferencial por el factor integrante**:

$$
   x \cdot \frac{d y}{d x} + y = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{d}{d x}(y \cdot x) = 0
   $$

5. **Integrar ambos lados**:

$$
   \frac{d}{d x}(y \cdot x) = 0 \quad \Rightarrow \quad y \cdot x = C
   $$

Donde $$C$$ es una constante de integración.

6. **Despejar $$y$$**:

$$
   y = \frac{C}{x}
   $$

**Solución general**:

$$
y = \frac{C}{x}
$$

donde $$C$$ es una constante arbitraria.
La solución general de la ecuación diferencial $$ x \frac{d y}{d x} + y = 0 $$ es $$ y = \frac{C}{x} $$, donde $$ C $$ es una constante.

Resuelva la ecuación diferencial . Seleccione la solución general:

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