Enunciado del ejercicio: Encontrar la transformada de Laplace de las
siguientes funciones.
a)

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Jan 13,2025

Question

Enunciado del ejercicio: Encontrar la transformada de Laplace de las siguientes funciones. a) $$ f(t)=2 t^{2}+t \cos (t)-6 $$

UpStudy AI · Accepted Answer

Para encontrar la transformada de Laplace de la función $$ f(t) = 2 t^{2} + t \cos(t) - 6 $$, aplicaremos la linealidad de la transformada de Laplace, es decir:

$$
\mathcal{L}\{f(t)\} = \mathcal{L}\{2 t^{2}\} + \mathcal{L}\{t \cos(t)\} - \mathcal{L}\{6\}
$$

A continuación, calculamos la transformada de Laplace de cada término por separado.

### 1. Transformada de $$ 2 t^{2} $$

La transformada de Laplace de $$ t^{n} $$ es:

$$
\mathcal{L}\{t^{n}\} = \frac{n!}{s^{n+1}}
$$

Para $$ n = 2 $$:

$$
\mathcal{L}\{t^{2}\} = \frac{2!}{s^{3}} = \frac{2}{s^{3}}
$$

Multiplicando por 2:

$$
\mathcal{L}\{2 t^{2}\} = 2 \cdot \frac{2}{s^{3}} = \frac{4}{s^{3}}
$$

### 2. Transformada de $$ t \cos(t) $$

La transformada de Laplace de $$ t \cos(a t) $$ es:

$$
\mathcal{L}\{t \cos(a t)\} = \frac{s^{2} - a^{2}}{(s^{2} + a^{2})^{2}}
$$

En este caso, $$ a = 1 $$:

$$
\mathcal{L}\{t \cos(t)\} = \frac{s^{2} - 1}{(s^{2} + 1)^{2}}
$$

### 3. Transformada de $$ -6 $$

La transformada de Laplace de una constante $$ c $$ es:

$$
\mathcal{L}\{c\} = \frac{c}{s}
$$

Por lo tanto:

$$
\mathcal{L}\{6\} = \frac{6}{s} \quad \Rightarrow \quad \mathcal{L}\{-6\} = -\frac{6}{s}
$$

### 4. Combinando los resultados

Sumando las transformadas obtenidas:

$$
\mathcal{L}\{f(t)\} = \frac{4}{s^{3}} + \frac{s^{2} - 1}{(s^{2} + 1)^{2}} - \frac{6}{s}
$$

Por lo tanto, la transformada de Laplace de la función dada es:

$$
\mathcal{L}\{2 t^{2} + t \cos(t) - 6\} = \frac{4}{s^{3}} + \frac{s^{2} - 1}{(s^{2} + 1)^{2}} - \frac{6}{s}
$$
La transformada de Laplace de $$ f(t) = 2 t^{2} + t \cos(t) - 6 $$ es: $$ \mathcal{L}\{f(t)\} = \frac{4}{s^{3}} + \frac{s^{2} - 1}{(s^{2} + 1)^{2}} - \frac{6}{s} $$

Enunciado del ejercicio: Encontrar la transformada de Laplace de las
siguientes funciones.
a)

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Solución

1. Transformada de

2. Transformada de

3. Transformada de

4. Combinando los resultados

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