Determina quali punti della bisettrice del primo e terzo quadrante hanno distanza dal punto uguale
a .

Ask by Norris Barker. in Italy

Jan 01,2025

Question

Determina quali punti della bisettrice del primo e terzo quadrante hanno distanza dal punto $$ A(4 ;-1) $$ uguale a $$ \sqrt{13} $$. $$ [(1 ; 1) ;(2 ; 2)] $$

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Per determinare i punti sulla bisettrice del primo e terzo quadrante che hanno una distanza pari a $$ \sqrt{13} $$ dal punto $$ A(4, -1) $$, seguiamo questi passaggi:

### Passo 1: Identificare la bisettrice
La bisettrice del primo e terzo quadrante è la retta $$ y = x $$. Questa retta divide l'angolo tra il primo e il terzo quadrante in due parti uguali.

### Passo 2: Trovare i punti sulla bisettrice che soddisfano la condizione di distanza
Cerchiamo tutti i punti $$ P(x, x) $$ sulla retta $$ y = x $$ tali che la distanza tra $$ P $$ e $$ A(4, -1) $$ sia $$ \sqrt{13} $$.

La formula della distanza tra due punti $$ P(x, y) $$ e $$ A(x_A, y_A) $$ è:
$$
\sqrt{(x - x_A)^2 + (y - y_A)^2}
$$

Impostiamo l'equazione:
$$
\sqrt{(x - 4)^2 + (x - (-1))^2} = \sqrt{13}
$$

### Passo 3: Risolvere l'equazione
Elevando al quadrato entrambi i membri per eliminare la radice:
$$
(x - 4)^2 + (x + 1)^2 = 13
$$
$$
(x^2 - 8x + 16) + (x^2 + 2x + 1) = 13
$$
$$
2x^2 - 6x + 17 = 13
$$
$$
2x^2 - 6x + 4 = 0
$$
Dividiamo per 2:
$$
x^2 - 3x + 2 = 0
$$
Fattorizziamo l'equazione quadratica:
$$
(x - 1)(x - 2) = 0
$$
Quindi, $$ x = 1 $$ o $$ x = 2 $$.

### Passo 4: Determinare i punti
Sostituendo i valori di $$ x $$ nella retta $$ y = x $$:
- Per $$ x = 1 $$, il punto è $$ P(1, 1) $$.
- Per $$ x = 2 $$, il punto è $$ P(2, 2) $$.

### Conclusione
I punti sulla bisettrice del primo e terzo quadrante che sono a una distanza di $$ \sqrt{13} $$ dal punto $$ A(4, -1) $$ sono:
$$
\boxed{(1;\,1)\quad\text{e}\quad(2;\,2)}
$$
I punti sulla bisettrice del primo e terzo quadrante a una distanza di $$ \sqrt{13} $$ dal punto $$ A(4, -1) $$ sono $$ (1, 1) $$ e $$ (2, 2) $$.

Determina quali punti della bisettrice del primo e terzo quadrante hanno distanza dal punto uguale
a .

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