Pour déterminer si la base canonique de $$\mathbb{R}^{3}$$ est orthogonale ou orthonormée pour le produit scalaire $$\varphi_{h}$$, considérons la forme générale de $$\varphi_{h}$$. Supposons que $$\varphi_{h}$$ soit défini par la matrice symétrique suivante : \[ \Phi_{h} = \begin{pmatrix} 1 & h & h \\ h & 1 & h \\ h & h & 1 \\ \end{pmatrix} \] **1. Orthogonalité de la base canonique :** La base canonique $$(e_{1}, e_{2}, e_{3})$$ est orthogonale pour $$\varphi_{h}$$ si et seulement si les produits scalaires $$\varphi_{h}(e_{i}, e_{j}) = 0$$ pour $$i \neq j$$. Calculons ces produits scalaires : \[ \varphi_{h}(e_{i}, e_{j}) = h \quad \text{pour} \quad i \neq j \] Pour que $$\varphi_{h}(e_{i}, e_{j}) = 0$$ lorsque $$i \neq j$$, il faut que $$h = 0$$. **2. Orthonormalité de la base canonique :** Pour que la base soit orthonormée, elle doit d’abord être orthogonale et, en plus, chaque vecteur de la base doit avoir une norme unitaire. Avec $$h = 0$$, la matrice $$\Phi_{h}$$ devient la matrice identité : \[ \Phi_{0} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \] Dans ce cas : \[ \varphi_{0}(e_{i}, e_{j}) = \begin{cases} 1 & \text{si } i = j \\ 0 & \text{sinon} \end{cases} \] Ainsi, chaque vecteur de la base canonique a une norme de 1, et la base est orthonormée. **Conclusion :** Il existe une unique valeur de $$h$$ dans l'intervalle $$(-1, 1)$$ telle que la base canonique de $$\mathbb{R}^{3}$$ soit orthogonale et orthonormée pour le produit scalaire $$\varphi_{h}$$, et cette valeur est $$h = 0$$. **Réponse finale :** Oui, lorsque h vaut zéro, la base canonique est orthogonale et orthonormée pour φₕ. Aucune autre valeur de h dans l’intervalle –1 < h < 1 ne rend la base canonique orthogonale ou orthonormée. Pour que la base canonique de $$\mathbb{R}^{3}$$ soit orthogonale et orthonormée pour le produit scalaire $$\varphi_{h}$$, la valeur de $$h$$ doit être 0.

[Resuelto]: (b) Soit -1<h<1 (donc tel que varphi_h est un produit scalaire). Existe-t-il une valeur de h telle q...

Pour déterminer si la base canonique de

est orthogonale ou orthonormée pour le produit scalaire

, considérons la forme générale de

. Supposons que

soit défini par la matrice symétrique suivante :

1. Orthogonalité de la base canonique :

La base canonique

est orthogonale pour

si et seulement si les produits scalaires

pour

Calculons ces produits scalaires :

Pour que

lorsque

, il faut que

2. Orthonormalité de la base canonique :

Pour que la base soit orthonormée, elle doit d’abord être orthogonale et, en plus, chaque vecteur de la base doit avoir une norme unitaire.

Avec

, la matrice

devient la matrice identité :

Dans ce cas :

Ainsi, chaque vecteur de la base canonique a une norme de 1, et la base est orthonormée.

Conclusion :

Il existe une unique valeur de

dans l’intervalle

telle que la base canonique de

soit orthogonale et orthonormée pour le produit scalaire

, et cette valeur est

Réponse finale :

Oui, lorsque h vaut zéro, la base canonique est orthogonale et orthonormée pour φₕ. Aucune autre valeur de h dans l’intervalle –1 < h < 1 ne rend la base canonique orthogonale ou orthonormée.

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Pour que la base canonique de

soit orthogonale pour le produit scalaire

, il faut que

pour

, où

sont les vecteurs de la base canonique. Cela implique que les coefficients correspondants dans la définition de

doivent être nuls pour les combinaisons de ces vecteurs. En revanche, pour l’orthonormalité, il faut que

En choisissant judicieusement

, par exemple en fixant

, on pourrait vérifier que les vecteurs sont orthogonaux. Cependant, pour que tout soit nécessairement orthonormé, d’autres ajustements seront nécessaires au niveau de la normalisation des vecteurs en tenant compte de la définition de

(b) Soit (donc tel que est un produit scalaire). Existe-t-il une valeur de telle que la base canonique de est orthogonale pour ? Et orthonormée?

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