Eine Eisenkugel wird von einem Turm der Höhe zum Zeitpunkt s fallen-
gelassen. Für die Höhe über dem Boden zur Zeit gilt:
.
a) Zeichne den Graphen für die Höhe als Funktion der Zeit.
b) Bestimme daraus die Fallzeit bis zum Auftreffen auf dem Boden.
c) Ermittle die Zeit, welche die Kugel für die ersten 10 Meter sowie für die letzten
10 Meter braucht.

Ask by Chan Vargas. in Austria

Mar 21,2025

Question

Eine Eisenkugel wird von einem Turm der Höhe zum Zeitpunkt s fallen-
gelassen. Für die Höhe über dem Boden zur Zeit gilt:
.
a) Zeichne den Graphen für die Höhe als Funktion der Zeit.
b) Bestimme daraus die Fallzeit bis zum Auftreffen auf dem Boden.
c) Ermittle die Zeit, welche die Kugel für die ersten 10 Meter sowie für die letzten
10 Meter braucht.

Ask by Chan Vargas. in Austria

Mar 21,2025

UpStudy AI · Accepted Answer

**a) Graph der Höhe $$ h(t) $$ als Funktion der Zeit**

Die Funktion lautet  
$$
h(t)=H-\frac{g}{2}\,t^2=50-5\,t^2,
$$
wobei $$ H=50 $$ m und $$ g\approx10\,\mathrm{m/s}^2 $$ ist.

Der Graph von $$ h(t) $$ ist eine nach unten geöffnete Parabel. Er startet bei $$ t=0 $$ mit  
$$
h(0)=50\,\mathrm{m},
$$
und schneidet die Zeitachse, wenn $$ h(t)=0 $$ gilt. Man erhält somit einen Fall, der eine Parabel darstellt, die von $$ (0,50) $$ bis zum Aufprallpunkt ($$ t\approx\sqrt{10}\,\mathrm{s} $$, $$ h=0 $$) verläuft.

**b) Bestimmung der Fallzeit bis zum Auftreffen auf dem Boden**

Der Aufprall erfolgt, wenn $$ h(t)=0 $$ ist. Also löst man die Gleichung
$$
50-5\,t^2=0.
$$
Schrittweise:
1. Umstellen:  
   $$
   5\,t^2=50.
   $$
2. Teilen durch 5:  
   $$
   t^2=10.
   $$
3. Wurzelziehen:  
   $$
   t=\sqrt{10}.
   $$

Damit beträgt die Fallzeit  
$$
t\approx\sqrt{10}\approx3{,}16\,\mathrm{s}.
$$

**c) Bestimmung der Zeiten für die ersten 10 Meter und die letzten 10 Meter des Falls**

*Für die ersten 10 Meter:*

Hier betrachten wir den Weg von $$ h=50\,\mathrm{m} $$ bis $$ h=40\,\mathrm{m} $$.

- Bestimme $$ t_1 $$ so, dass  
  $$
  h(t_1)=40.
  $$
  Einsetzen in die Höhenfunktion:
  $$
  40=50-5\,t_1^2.
  $$
- Umstellen:
  $$
  5\,t_1^2=50-40=10.
  $$
- Lösen:
  $$
  t_1^2=2\quad\Longrightarrow\quad t_1=\sqrt{2}\approx1{,}41\,\mathrm{s}.
  $$

Das heißt, die Kugel benötigt etwa $$ 1{,}41\,\mathrm{s} $$, um die ersten 10 Meter zu durchfallen.

*Für die letzten 10 Meter:*

Die letzten 10 Meter entsprechen dem Weg von $$ h=10\,\mathrm{m} $$ bis $$ h=0\,\mathrm{m} $$.

- Zunächst bestimmen wir $$ t_2 $$ so, dass  
  $$
  h(t_2)=10.
  $$
  Einsetzen:
  $$
  10=50-5\,t_2^2.
  $$
- Umstellen:
  $$
  5\,t_2^2=50-10=40.
  $$
- Lösen:
  $$
  t_2^2=8\quad\Longrightarrow\quad t_2=\sqrt{8}\approx2{,}83\,\mathrm{s}.
  $$

Wir haben bereits in Teil b) den Zeitpunkt des Aufpralls ermittelt:  
$$
t_3=\sqrt{10}\approx3{,}16\,\mathrm{s}.
$$

Die Zeit, die die Kugel für die letzten 10 Meter braucht, ist  
$$
\Delta t=t_3-t_2\approx3{,}16\,\mathrm{s}-2{,}83\,\mathrm{s}\approx0{,}33\,\mathrm{s}.
$$

**Zusammenfassung:**

- **Graph:** Die Parabel $$ h(t)=50-5\,t^2 $$ startet bei $$ (0,50) $$ und schneidet die Zeitachse bei $$ t\approx3{,}16\,\mathrm{s} $$.
- **Fallzeit:** $$ t=\sqrt{10}\approx3{,}16\,\mathrm{s} $$.
- **Erste 10 Meter:** $$ \sqrt{2}\approx1{,}41\,\mathrm{s} $$.
- **Letzte 10 Meter:** Etwa $$ 0{,}33\,\mathrm{s} $$.
**a) Graph der Höhe $$ h(t) $$ als Funktion der Zeit** Die Funktion ist $$ h(t) = 50 - 5t^2 $$. Der Graph ist eine nach unten geöffnete Parabel, die bei $$ t = 0 $$ bei 50 m anfängt und bei $$ t \approx 3{,}16 $$ s den Boden erreicht. **b) Fallzeit bis zum Auftreffen** Die Kugel fällt $$ \sqrt{10} \approx 3{,}16 $$ s. **c) Zeiten für die ersten und letzten 10 Meter** - **Erste 10 Meter:** $$ \sqrt{2} \approx 1{,}41 $$ s - **Letzte 10 Meter:** $$ \sqrt{8} - \sqrt{2} \approx 0{,}33 $$ s

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