\begin{tabular}{l}\hline Exercice 8-Montrer que l'ensemble des fonctions $$ z \longmapsto a z+b $$ \ $$ (a, b) $$ décrivant $$ \mathbb{C}^{*} imes \mathbb{C} $$, est un groupe pour la composition. \end{tabular}

Question

\begin{tabular}{l}\hline Exercice 8-Montrer que l'ensemble des fonctions $$ z \longmapsto a z+b $$ \ $$ (a, b) $$ décrivant $$ \mathbb{C}^{*} 	imes \mathbb{C} $$, est un groupe pour la composition. \end{tabular}

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Pour démontrer que l'ensemble des fonctions de la forme $$ f_{a,b}(z) = a z + b $$, où $$ a \in \mathbb{C}^* $$ (c'est-à-dire $$ a \neq 0 $$) et $$ b \in \mathbb{C} $$, forme un groupe pour la composition, nous devons vérifier les axiomes de groupe : fermeture, associativité, élément neutre et existence d'inverses.

### 1. **Fermeture sous la composition**

Soient deux fonctions de cet ensemble :
$$
f_{a,b}(z) = a z + b \quad \text{et} \quad f_{c,d}(z) = c z + d
$$
La composition de $$ f_{a,b} $$ et $$ f_{c,d} $$ est donnée par :
$$
(f_{a,b} \circ f_{c,d})(z) = f_{a,b}(f_{c,d}(z)) = f_{a,b}(c z + d) = a (c z + d) + b = (a c) z + (a d + b)
$$
Puisque $$ a, c \in \mathbb{C}^* $$, leur produit $$ a c $$ est également dans $$ \mathbb{C}^* $$ (car le produit de deux nombres complexes non nuls est non nul). De plus, $$ a d + b $$ est un élément de $$ \mathbb{C} $$.

Donc, $$ f_{a,b} \circ f_{c,d} $$ est une fonction de la forme $$ f_{a',b'}(z) = a' z + b' $$ avec $$ a' = a c \in \mathbb{C}^* $$ et $$ b' = a d + b \in \mathbb{C} $$. Ainsi, l'ensemble est fermé sous la composition.

### 2. **Associativité**

La composition des fonctions est toujours associative. Pour toutes fonctions $$ f, g, h $$ de cet ensemble :
$$
f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h
$$
Cela découle directement des propriétés de la composition fonctionnelle et ne dépend pas de la forme spécifique des fonctions.

### 3. **Élément neutre**

L'élément neutre pour la composition est la fonction identité :
$$
f_{\text{id}}(z) = z = 1 \cdot z + 0
$$
Cela correspond à $$ a = 1 $$ et $$ b = 0 $$, qui appartiennent à $$ \mathbb{C}^* \times \mathbb{C} $$. Pour toute fonction $$ f_{a,b} $$ de l'ensemble :
$$
f_{\text{id}} \circ f_{a,b} = f_{a,b} \circ f_{\text{id}} = f_{a,b}
$$

### 4. **Existence d'inverses**

Pour toute fonction $$ f_{a,b}(z) = a z + b $$ avec $$ a \neq 0 $$, nous devons montrer qu'il existe une fonction $$ f_{a',b'} $$ dans l'ensemble telle que :
$$
f_{a,b} \circ f_{a',b'} = f_{a',b'} \circ f_{a,b}} = f_{\text{id}}
$$
Trouvons $$ f_{a',b'} $$ :
$$
f_{a',b'}(z) = a' z + b'
$$
Nous voulons :
$$
f_{a,b}(f_{a',b'}(z)) = a (a' z + b') + b = (a a') z + (a b' + b) = z
$$
Cela implique que :
$$
a a' = 1 \quad \text{et} \quad a b' + b = 0
$$
Donc, $$ a' = \frac{1}{a} $$ et $$ b' = -\frac{b}{a} $$. Ainsi, l'inverse de $$ f_{a,b} $$ est :
$$
f_{a,b}^{-1}(z) = \frac{1}{a} z - \frac{b}{a}
$$
Puisque $$ \frac{1}{a} \in \mathbb{C}^* $$ et $$ -\frac{b}{a} \in \mathbb{C} $$, l'inversé appartient bien à l'ensemble.

### Conclusion

L'ensemble des fonctions $$ z \mapsto a z + b $$ avec $$ a \in \mathbb{C}^* $$ et $$ b \in \mathbb{C} $$ satisfait toutes les propriétés d'un groupe sous la composition. Par conséquent, cet ensemble forme bien un groupe pour la composition des fonctions.

**Résumé :**
L'ensemble des transformations affines complexes $$ z \mapsto a z + b $$ avec $$ a \in \mathbb{C}^* $$ et $$ b \in \mathbb{C} $$ est un groupe pour la composition car il est fermé, associatif, possède une identité et chaque élément a un inverse dans l'ensemble.
The set of functions $$ z \mapsto a z + b $$ with $$ a \neq 0 $$ and $$ b $$ any complex number forms a group under function composition because it is closed, associative, has an identity element, and every function has an inverse within the set.

Exercice 8-Montrer que l'ensemble des fonctions

décrivant , est un groupe pour la composition.

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