e) $$ \left\{\begin{array}{l}\sqrt{2 x}+y=1 \ x+3 y=-1\end{array} ight. $$

Question

e) $$ \left\{\begin{array}{l}\sqrt{2 x}+y=1 \ x+3 y=-1\end{array}ight. $$

UpStudy AI · Accepted Answer

Para resolver el sistema de ecuaciones:

$$
\begin{cases}
\sqrt{2x} + y = 1 \
x + 3y = -1
\end{cases}
$$

**Paso 1:** Despejamos $$ y $$ de la primera ecuación:

$$
y = 1 - \sqrt{2x}
$$

**Paso 2:** Sustituimos $$ y $$ en la segunda ecuación:

$$
x + 3(1 - \sqrt{2x}) = -1
$$
$$
x + 3 - 3\sqrt{2x} = -1
$$
$$
x - 3\sqrt{2x} + 4 = 0
$$

**Paso 3:** Hacemos un cambio de variable para simplificar la ecuación. Sea $$ u = \sqrt{x} $$, entonces $$ x = u^2 $$ y $$ \sqrt{2x} = \sqrt{2} \cdot u $$. La ecuación se transforma en:

$$
u^2 - 3\sqrt{2} \cdot u + 4 = 0
$$

**Paso 4:** Resolvemos la ecuación cuadrática para $$ u $$:

$$
u = \frac{3\sqrt{2} \pm \sqrt{(3\sqrt{2})^2 - 16}}{2} = \frac{3\sqrt{2} \pm \sqrt{18 - 16}}{2} = \frac{3\sqrt{2} \pm \sqrt{2}}{2}
$$

Esto nos da dos soluciones para $$ u $$:

1. $$ u = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} $$ $$\Rightarrow x = (2\sqrt{2})^2 = 8$$
2. $$ u = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} $$ $$\Rightarrow x = (\sqrt{2})^2 = 2$$

**Paso 5:** Sustituimos los valores de $$ x $$ en la expresión de $$ y $$:

1. Para $$ x = 8 $$:
$$
y = 1 - \sqrt{2 \cdot 8} = 1 - \sqrt{16} = 1 - 4 = -3
$$

2. Para $$ x = 2 $$:
$$
y = 1 - \sqrt{2 \cdot 2} = 1 - \sqrt{4} = 1 - 2 = -1
$$

**Conclusión:**

Las soluciones del sistema son:

$$
(x, y) = (8, -3) \quad \text{y} \quad (2, -1)
$$
Las soluciones del sistema son $$ (8, -3) $$ y $$ (2, -1) $$.

e)

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