10. Halla el área del recinto limitado por la gráfica de la función $$ y=x^{2}+4 $$, la recta tangente a la misma en el punto de abscisa -2 y el eje oy. 11. Sea la gráfica de la parábola $$ y=3 x^{2} $$ en el intervalo $$ [1,2] $$ y $$ m $$ un valor de este intervalo. a) Halla, en función de $$ m $$, el área de cada una de las partes sombrea- das $$ A $$ y $$ B $$. b) ¿Cuál es el valor de $$ m $$ que hace mínima la suma de esas áreas? 12. Halla las abscisas de los extremos relativos de la función

Question

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Vamos a resolver los problemas 10 y 11 planteados:

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## **Problema 10**

**Halla el área del recinto limitado por la gráfica de la función $$ y = x^{2} + 4 $$, la recta tangente a la misma en el punto de abscisa -2 y el eje $$ Oy $$.**

### **Paso 1: Determinar la recta tangente en $$ x = -2 $$**

1. **Calcular el valor de $$ y $$ en $$ x = -2 $$:**
   $$
   y = (-2)^{2} + 4 = 4 + 4 = 8
   $$
   
2. **Calcular la derivada de $$ y = x^{2} + 4 $$:**
   $$
   y' = 2x
   $$
   En $$ x = -2 $$:
   $$
   y'(-2) = 2(-2) = -4
   $$
   
3. **Ecuación de la recta tangente:**
   Utilizando la forma punto-pendiente:
   $$
   y - y_{0} = m(x - x_{0})
   $$
   Donde $$ (x_{0}, y_{0}) = (-2, 8) $$ y $$ m = -4 $$:
   $$
   y - 8 = -4(x + 2) \
   y = -4x - 8 + 8 \
   y = -4x
   $$
   
### **Paso 2: Determinar los puntos de intersección**

1. **Intersección de $$ y = x^{2} + 4 $$ y $$ y = -4x $$:**
   $$
   x^{2} + 4 = -4x \
   x^{2} + 4x + 4 = 0 \
   (x + 2)^{2} = 0 \
   x = -2
   $$
   Así, el punto de tangencia es $$ (-2, 8) $$.

2. **Intersección con el eje $$ Oy $$ (cuando $$ x = 0 $$):**
   - Para $$ y = x^{2} + 4 $$:
     $$
     y = 0^{2} + 4 = 4
     $$
   - Para $$ y = -4x $$:
     $$
     y = -4(0) = 0
     $$
   Así, los puntos de intersección con el eje $$ Oy $$ son $$ (0, 4) $$ y $$ (0, 0) $$.

### **Paso 3: Calcular el área encerrada**

El área está delimitada por:
- La parábola $$ y = x^{2} + 4 $$ desde $$ x = -2 $$ hasta $$ x = 0 $$.
- La recta tangente $$ y = -4x $$ desde $$ x = -2 $$ hasta $$ x = 0 $$.
- El eje $$ Oy $$ entre $$ y = 0 $$ y $$ y = 4 $$.

La fórmula para el área $$ A $$ es:
$$
A = \int_{-2}^{0} \left( (x^{2} + 4) - (-4x) \right) dx = \int_{-2}^{0} (x^{2} + 4x + 4) dx
$$

Calculamos la integral:
$$
A = \left[ \frac{1}{3}x^{3} + 2x^{2} + 4x \right]_{-2}^{0}
$$

Evaluando en los límites:
$$
A = \left( 0 + 0 + 0 \right) - \left( \frac{1}{3}(-2)^{3} + 2(-2)^{2} + 4(-2) \right) \
A = 0 - \left( \frac{-8}{3} + 8 - 8 \right) \
A = 0 - \left( \frac{-8}{3} \right) \
A = \frac{8}{3}
$$

**Respuesta:** El área del recinto es $$ \frac{8}{3} $$ unidades cuadradas.

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## **Problema 11**

**Sea la gráfica de la parábola $$ y = 3x^{2} $$ en el intervalo $$ [1, 2] $$ y $$ m $$ un valor de este intervalo.**

### **a) Halla, en función de $$ m $$, el área de cada una de las partes sombreadas $$ A $$ y $$ B $$.**

**Interpretación del problema:**
Dividimos el intervalo $$[1, 2]$$ en dos partes por medio de una línea vertical $$ x = m $$. Las áreas $$ A $$ y $$ B $$ corresponden a los intervalos $$[1, m]$$ y $$[m, 2]$$, respectivamente.

1. **Área $$ A(m) $$:**
   $$
   A(m) = \int_{1}^{m} 3x^{2} dx = \left[ x^{3} \right]_{1}^{m} = m^{3} - 1
   $$

2. **Área $$ B(m) $$:**
   $$
   B(m) = \int_{m}^{2} 3x^{2} dx = \left[ x^{3} \right]_{m}^{2} = 8 - m^{3}
   $$

**Respuesta:**
$$
A(m) = m^{3} - 1 \quad \text{y} \quad B(m) = 8 - m^{3}
$$

### **b) ¿Cuál es el valor de $$ m $$ que hace mínima la suma de esas áreas?**

**Análisis:**
La suma de las áreas:
$$
A(m) + B(m) = (m^{3} - 1) + (8 - m^{3}) = 7
$$
Observamos que la suma es constante e igual a 7, independientemente del valor de $$ m $$.

**Posible Reinterpretación del Problema:**
Es probable que el enunciado original tenga un error y que se busque minimizar la diferencia absoluta entre $$ A(m) $$ y $$ B(m) $$, es decir, minimizar $$ |A(m) - B(m)| $$.

Entonces, buscamos $$ m $$ tal que $$ A(m) = B(m) $$:

$$
m^{3} - 1 = 8 - m^{3} \
2m^{3} = 9 \
m^{3} = \frac{9}{2} \
m = \sqrt[3]{\frac{9}{2}} \approx 1.6506
$$

**Respuesta:**
El valor de $$ m $$ que equilibra las áreas $$ A $$ y $$ B $$ es:
$$
m = \sqrt[3]{\frac{9}{2}} \approx 1.6506
$$

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## **Problema 12**

**Halla las abscisas de los extremos relativos de la función**

Parece que el enunciado está incompleto ya que no se proporciona la función a analizar. Por favor, proporciona la función correspondiente para poder ayudarte a resolver este problema.
**Respuestas Simplificadas:** 10. **Área del recinto:** $$ \frac{8}{3} $$ unidades cuadradas. 11. **a) Áreas:** - $$ A(m) = m^{3} - 1 $$ - $$ B(m) = 8 - m^{3} $$ 11. **b) Valor de $$ m $$ que equilibra las áreas:** $$ m = \sqrt[3]{\frac{9}{2}} \approx 1.6506 $$ 12. **Abscisas de los extremos relativos:** No se puede determinar debido a la falta de información sobre la función.

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