Pregunta
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  1. Halla el área del recinto limitado por la gráfica de la función ,
    la recta tangente a la misma en el punto de abscisa -2 y el eje oy.
  2. Sea la gráfica de la parábola en el intervalo y un
    valor de este intervalo.
    a) Halla, en función de , el área de cada una de las partes sombrea-
    das y .
    b) ¿Cuál es el valor de que hace mínima la suma de esas áreas?
  3. Halla las abscisas de los extremos relativos de la función

Ask by Dawson Lang. in Spain
Jan 01,2025

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

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Respuestas Simplificadas:
  1. Área del recinto: unidades cuadradas.
  2. a) Áreas:
  1. b) Valor de que equilibra las áreas:
  2. Abscisas de los extremos relativos: No se puede determinar debido a la falta de información sobre la función.

Solución

Vamos a resolver los problemas 10 y 11 planteados:

Problema 10

Halla el área del recinto limitado por la gráfica de la función , la recta tangente a la misma en el punto de abscisa -2 y el eje .

Paso 1: Determinar la recta tangente en

  1. Calcular el valor de en :
  2. Calcular la derivada de :
    En :
  3. Ecuación de la recta tangente:
    Utilizando la forma punto-pendiente:
    Donde y :

Paso 2: Determinar los puntos de intersección

  1. Intersección de y :
    Así, el punto de tangencia es .
  2. Intersección con el eje (cuando ):
    • Para :
    • Para :
    Así, los puntos de intersección con el eje son y .

Paso 3: Calcular el área encerrada

El área está delimitada por:
  • La parábola desde hasta .
  • La recta tangente desde hasta .
  • El eje entre y .
La fórmula para el área es:
Calculamos la integral:
Evaluando en los límites:
Respuesta: El área del recinto es unidades cuadradas.

Problema 11

Sea la gráfica de la parábola en el intervalo y un valor de este intervalo.

a) Halla, en función de , el área de cada una de las partes sombreadas y .

Interpretación del problema:
Dividimos el intervalo en dos partes por medio de una línea vertical . Las áreas y corresponden a los intervalos y , respectivamente.
  1. Área :
  2. Área :
Respuesta:

b) ¿Cuál es el valor de que hace mínima la suma de esas áreas?

Análisis:
La suma de las áreas:
Observamos que la suma es constante e igual a 7, independientemente del valor de .
Posible Reinterpretación del Problema:
Es probable que el enunciado original tenga un error y que se busque minimizar la diferencia absoluta entre y , es decir, minimizar .
Entonces, buscamos tal que :
Respuesta:
El valor de que equilibra las áreas y es:

Problema 12

Halla las abscisas de los extremos relativos de la función
Parece que el enunciado está incompleto ya que no se proporciona la función a analizar. Por favor, proporciona la función correspondiente para poder ayudarte a resolver este problema.

Respondido por UpStudy AI y revisado por un tutor profesional

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Extra Insights

La función es una parábola que se abre hacia arriba y está desplazada 4 unidades hacia arriba en el eje y. La tangente en el punto de abscisa -2 se puede encontrar utilizando la derivada de la función. La fórmula de la tangente será útil para establecer la relación entre la parábola y el área limitada, que es genial porque combina geometría y cálculo para revelar la belleza del análisis matemático.
En cuanto a la parábola sobre el intervalo , el área de las partes sombreadas y se puede determinar integrando la función y luego aplicando la triangulación de las áreas delineadas por el valor . Este valor mínimo se puede calcular al derivar la suma de y respecto a y encontrar donde esta derivada es cero. ¡Es un ejemplo perfecto de cómo el cálculo se convierte en una poderosa herramienta para optimizar situaciones reales!

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