ai $$ t= an \left(\frac{x}{2} ight),-\pi

Question

ai $$ t=	an \left(\frac{x}{2}ight),-\pi

UpStudy AI · Accepted Answer

Para demostrar las identidades trigonométricas dadas, comenzaremos con la relación $$ t = \tan\left(\frac{x}{2}\right) $$. Utilizaremos las identidades trigonométricas y la relación entre las funciones trigonométricas y la tangente.

### Parte a)

1. **Demostración de $$\cos\left(\frac{x}{2}\right)$$ y $$\sin\left(\frac{x}{2}\right)$$**:

Sabemos que:
   $$
   \tan\left(\frac{x}{2}\right) = t = \frac{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}{\cos\left(\frac{x}{2}\right)}
   $$

Usando el triángulo rectángulo, donde el cateto opuesto es $$\sin\left(\frac{x}{2}\right)$$ y el cateto adyacente es $$\cos\left(\frac{x}{2}\right)$$, podemos escribir:
   $$
   \sin\left(\frac{x}{2}\right) = t \cdot \cos\left(\frac{x}{2}\right)
   $$

Aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos:
   $$
   1 = \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) + \cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
   $$
   Sustituyendo $$\sin\left(\frac{x}{2}\right)$$:
   $$
   1 = (t \cdot \cos\left(\frac{x}{2}\right))^2 + \cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
   $$
   $$
   1 = t^2 \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
   $$
   $$
   1 = \cos^2\left(\frac{x}{2}\right)(t^2 + 1)
   $$
   Por lo tanto:
   $$
   \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1}{t^2 + 1}
   $$
   Tomando la raíz cuadrada:
   $$
   \cos\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1}{\sqrt{1 + t^2}}
   $$

Ahora, usando la relación de $$\sin\left(\frac{x}{2}\right)$$:
   $$
   \sin\left(\frac{x}{2}\right) = t \cdot \cos\left(\frac{x}{2}\right) = t \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + t^2}} = \frac{t}{\sqrt{1 + t^2}}
   $$

### Parte b)

2. **Demostración de $$\cos(x)$$ y $$\sin(x)$$**:

Usamos las identidades de ángulo doble:
   $$
   \cos(x) = 2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) - 1
   $$
   Sustituyendo $$\cos\left(\frac{x}{2}\right)$$:
   $$
   \cos(x) = 2\left(\frac{1}{\sqrt{1 + t^2}}\right)^2 - 1 = 2\cdot\frac{1}{1 + t^2} - 1 = \frac{2 - (1 + t^2)}{1 + t^2} = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}
   $$

Para $$\sin(x)$$:
   $$
   \sin(x) = 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)
   $$
   Sustituyendo:
   $$
   \sin(x) = 2\left(\frac{t}{\sqrt{1 + t^2}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{1 + t^2}}\right) = \frac{2t}{1 + t^2}
   $$

### Parte c)

3. **Demostración de $$dx$$**:

Usamos la relación $$t = \tan\left(\frac{x}{2}\right)$$. Derivando ambos lados con respecto a $$x$$:
   $$
   dt = \frac{1}{2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)} \cdot \frac{dx}{2}
   $$
   Entonces:
   $$
   dx = 2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) dt
   $$
   Sustituyendo $$\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1}{1 + t^2}$$:
   $$
   dx = 2\cdot\frac{1}{1 + t^2} dt = \frac{2}{1 + t^2} dt
   $$

Con esto hemos demostrado todas las identidades requeridas.
Para demostrar las identidades trigonométricas, se parte de la relación $$ t = \tan\left(\frac{x}{2}\right) $$. Se utiliza el triángulo rectángulo y las identidades trigonométricas para obtener $$\cos\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1}{\sqrt{1+t^2}}$$ y $$\sin\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{t}{\sqrt{1+t^2}}$$. Luego, se aplican las identidades de ángulo doble para obtener $$\cos(x) = \frac{1-t^2}{1+t^2}$$ y $$\sin(x) = \frac{2t}{1+t^2}$$. Finalmente, se deriva $$t = \tan\left(\frac{x}{2}\right)$$ para obtener $$dx = \frac{2}{1+t^2} dt$$.

ai , dibuje un triángulo rectángulo o utilice identidades trigonomét
ara demostrar que

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