20. Desarrollar las siguientes funciones como series de potencias mediante el uso dt Taylor o MaLaurin $$ \begin{aligned} f(x) & =\operatorname{sen}(x) \ f(x) & =\cos (x) \ f(x) & =e^{x} \ f(x) & =\frac{1}{2-x}\end{aligned} $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

$$
\textbf{1. Función } f(x)=\sin(x)
$$

La serie de Maclaurin para $$\sin(x)$$ es:
$$
\sin(x)=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
$$
donde cada término es $$ (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} $$.

---

$$
\textbf{2. Función } f(x)=\cos(x)
$$

La serie de Maclaurin para $$\cos(x)$$ es:
$$
\cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}
$$
en la que cada término es $$ (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} $$.

---

$$
\textbf{3. Función } f(x)=e^x
$$

La serie de Maclaurin para $$e^x$$ es:
$$
e^x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}
$$
donde cada término es $$\frac{x^n}{n!}$$.

---

$$
\textbf{4. Función } f(x)=\frac{1}{2-x}
$$

Primero, reescribimos la función de forma adecuada para aplicar la serie geométrica:
$$
\frac{1}{2-x}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1-\frac{x}{2}}
$$

La serie geométrica para $$\frac{1}{1-u}$$ es:
$$
\frac{1}{1-u}=\sum_{n=0}^{\infty} u^n  \quad \text{para } |u|<1.
$$

Sea $$ u=\frac{x}{2} $$, lo que implica la convergencia para $$|x|<2$$. Entonces:
$$
\frac{1}{2-x}=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{x}{2}\right)^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{2^{n+1}}.
$$

Cada término de la serie es $$\frac{x^n}{2^{n+1}}$$.
$$ \begin{aligned} 1. \sin(x) &= x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \frac{x^7}{5040} + \cdots \ 2. \cos(x) &= 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{720} + \cdots \ 3. e^x &= 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \ 4. \frac{1}{2-x} &= \frac{1}{2} + \frac{x}{4} + \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + \cdots \end{aligned} $$

Desarrollar las siguientes funciones como series de potencias mediante el uso dt
Taylor o MaLaurin

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