Exercice 1: Partie I :On considère la fonction $$ g $$ définie sur $$ ] 0 ;+\infty\left[\right. $$ par: $$ g(x)=x^{2}+x-2+2 \ln x $$ 1- a- Calculer $$ g^{\prime}(x) $$ pour tout $$ \left.x d e\right] 0 ;+\infty[ $$ b- Donner le tableau de variations de $$ g $$. 2- a- Vérifier que $$ g(1)=0 $$ b- Montrer que $$ g(x) \leq 0 $$ pour tout xappartenant à $$ l $$ 'int ervalle $$ ] 0 ; 1] $$ et que $$ g(x) \geq 0 $$ pour tout $$ x $$ appartenant à $$ l $$ 'int ervalle $$ [1,+\infty[ $$

Question

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**Exercice 1:** **Partie I :** On considère la fonction $$ g $$ définie sur $$ ]0 ; +\infty[ $$ par : $$ g(x) = x^{2} + x - 2 + 2 \ln x $$ --- **1. a- Calculer $$ g'(x) $$ pour tout $$ x \in ]0 ; +\infty[ $$** Pour dériver la fonction $$ g(x) $$, nous dérivons terme à terme : $$ g'(x) = \frac{d}{dx}(x^{2}) + \frac{d}{dx}(x) - \frac{d}{dx}(2) + \frac{d}{dx}(2 \ln x) $$ Calcul des dérivées : - $$ \frac{d}{dx}(x^{2}) = 2x $$ - $$ \frac{d}{dx}(x) = 1 $$ - $$ \frac{d}{dx}(2) = 0 $$ - $$ \frac{d}{dx}(2 \ln x) = \frac{2}{x} $$ Ainsi, $$ g'(x) = 2x + 1 + \frac{2}{x} $$ --- **1. b- Donner le tableau de variations de $$ g $$.** Pour établir le tableau de variations de $$ g $$, nous devons analyser le signe de $$ g'(x) $$ et déterminer les intervalles de croissance et de décroissance de $$ g $$. **Étape 1 : Étudier le signe de $$ g'(x) $$** $$ g'(x) = 2x + 1 + \frac{2}{x} $$ Pour $$ x > 0 $$, $$ \frac{2}{x} > 0 $$. Donc, $$ g'(x) > 0 $$ pour tout $$ x > 0 $$. **Conclusion :** La dérivée $$ g'(x) $$ est strictement positive sur $$ ]0 ; +\infty[ $$. Donc, la fonction $$ g $$ est strictement croissante sur $$ ]0 ; +\infty[ $$. **Tableau de variations de $$ g $$ :** $$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 0^{+} & +\infty \ \hline g'(x) & + & + \ \hline g(x) & \text{Minimale} & +\infty \ \hline \end{array} $$ Mais pour être plus précis, nous pouvons calculer la limite de $$ g(x) $$ quand $$ x $$ tend vers 0 et vers $$ +\infty $$, ainsi que le comportement à un point particulier (par exemple $$ x = 1 $$). **Étape 2 : Calcul des limites** - $$ \lim_{x \to 0^{+}} g(x) = \lim_{x \to 0^{+}} (x^{2} + x - 2 + 2 \ln x) = -2 + (-\infty) = -\infty $$ - $$ g(1) = 1 + 1 - 2 + 2 \ln 1 = 0 $$ (à vérifier dans la question suivante) - $$ \lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty $$ (le terme dominant est $$ x^{2} $$) **Tableau de variations détaillé :** $$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 0^{+} & 1 & +\infty \ \hline g(x) & -\infty & 0 & +\infty \ \hline \text{Variation} & \nearrow & \nearrow & \nearrow \ \hline \end{array} $$ --- **2. a- Vérifier que $$ g(1) = 0 $$** Calculons $$ g(1) $$ : $$ g(1) = 1^{2} + 1 - 2 + 2 \ln 1 $$ Sachant que $$ \ln 1 = 0 $$, on a : $$ g(1) = 1 + 1 - 2 + 0 = 0 $$ **Conclusion :** Effectivement, $$ g(1) = 0 $$. --- **2. b- Montrer que $$ g(x) \leq 0 $$ pour tout $$ x \in ]0 ; 1] $$ et que $$ g(x) \geq 0 $$ pour tout $$ x \in [1 ; +\infty[ $$** Nous avons déterminé précédemment que $$ g $$ est strictement croissante sur $$ ]0 ; +\infty[ $$ et que $$ g(1) = 0 $$. **Analysons le comportement de $$ g $$ par rapport à $$ x = 1 $$ :** - **Pour $$ x < 1 $$ :** Puisque $$ g $$ est croissante, pour $$ x < 1 $$, $$ g(x) < g(1) = 0 $$. Donc, $$ g(x) \leq 0 $$. - **Pour $$ x = 1 $$ :** $$ g(1) = 0 $$. - **Pour $$ x > 1 $$ :** Encore une fois, comme $$ g $$ est croissante, pour $$ x > 1 $$, $$ g(x) > g(1) = 0 $$. Donc, $$ g(x) \geq 0 $$. **Conclusion :** - $$ g(x) \leq 0 $$ pour tout $$ x \in ]0 ; 1] $$ - $$ g(x) \geq 0 $$ pour tout $$ x \in [1 ; +\infty[ $$ --- **Résumé :** 1. **Calcul de la dérivée :** $$ g'(x) = 2x + 1 + \frac{2}{x} $$ 2. **Tableau de variations :** $$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 0^{+} & 1 & +\infty \ \hline g(x) & -\infty & 0 & +\infty \ \hline \text{Variation} & \nearrow & \nearrow & \nearrow \ \hline \end{array} $$ 3. **Propriétés de $$ g $$ :** - $$ g(1) = 0 $$ - $$ g(x) \leq 0 $$ pour $$ x \in ]0 ; 1] $$ - $$ g(x) \geq 0 $$ pour $$ x \in [1 ; +\infty[ $$ **Exercice 1:** **Partie I :** On considère la fonction $$ g $$ définie sur $$ ]0 ; +\infty[ $$ par : $$ g(x) = x^{2} + x - 2 + 2 \ln x $$ --- **1. a- Calculer $$ g'(x) $$ pour tout $$ x \in ]0 ; +\infty[ $$** $$ g'(x) = 2x + 1 + \frac{2}{x} $$ --- **1. b- Donner le tableau de variations de $$ g $$.** La fonction $$ g $$ est strictement croissante sur $$ ]0 ; +\infty[ $$. **Tableau de variations :** $$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 0^{+} & 1 & +\infty \ \hline g(x) & -\infty & 0 & +\infty \ \hline \text{Variation} & \nearrow & \nearrow & \nearrow \ \hline \end{array} $$ --- **2. a- Vérifier que $$ g(1) = 0 $$** $$ g(1) = 1 + 1 - 2 + 2 \ln 1 = 0 $$ --- **2. b- Montrer que $$ g(x) \leq 0 $$ pour tout $$ x \in ]0 ; 1] $$ et que $$ g(x) \geq 0 $$ pour tout $$ x \in [1 ; +\infty[ $$** - Pour $$ x < 1 $$, $$ g(x) \leq 0 $$ - Pour $$ x \geq 1 $$, $$ g(x) \geq 0 $$ --- **Résumé :** - $$ g'(x) = 2x + 1 + \frac{2}{x} $$ - $$ g $$ est strictement croissante sur $$ ]0 ; +\infty[ $$ - $$ g(1) = 0 $$ - $$ g(x) \leq 0 $$ pour $$ x \in ]0 ; 1] $$ - $$ g(x) \geq 0 $$ pour $$ x \in [1 ; +\infty[ $$

Exercice 1:
Partie I :On considère la fonction définie sur par:
1- a- Calculer pour tout
b- Donner le tableau de variations de .
2- a- Vérifier que
b- Montrer que pour tout xappartenant à 'int ervalle
et que pour tout appartenant à 'int ervalle

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Exercice 1: Partie I :On considère la fonction définie sur par: 1- a- Calculer pour tout b- Donner le tableau de variations de . 2- a- Vérifier que b- Montrer que pour tout xappartenant à 'int ervalle et que pour tout appartenant à 'int ervalle