Berechne den Durchstoßpunkt der Geraden \( \mathrm{g}: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}4 \\ -1 \\ 1\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}3 \\ 0 \\ 2\end{array}\right) \) mit der Ebene \( \mathrm{E}: \) \( x_{1}+x_{2}+3 x_{3}=-3 \).

Um den Durchstoßpunkt der Geraden \( \mathrm{g} \) mit der Ebene \( \mathrm{E} \) zu berechnen, setzen wir die Parametrisierte Darstellung der Geraden in die Ebenengleichung ein. Die Geradengleichung lautet: \[ \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 + 3t \\ -1 \\ 1 + 2t \end{pmatrix} \] Setzen wir nun diese Ausdrücke in die Ebenengleichung \( x_1 + x_2 + 3 x_3 = -3 \) ein: \[ (4 + 3t) + (-1) + 3(1 + 2t) = -3 \] Vereinfachen wir die Gleichung: \[ 4 + 3t - 1 + 3 + 6t = -3 \] \[ 3t + 6t + 6 = -3 \] \[ 9t + 6 = -3 \] \[ 9t = -3 - 6 = -9 \] \[ t = -1 \] Jetzt setzen wir \( t = -1 \) in die Geradengleichung ein, um den Durchstoßpunkt zu finden: \[ \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 + 3(-1) \\ -1 \\ 1 + 2(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - 3 \\ -1 \\ 1 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} \] Der Durchstoßpunkt der Geraden \( \mathrm{g} \) mit der Ebene \( \mathrm{E} \) ist also \( \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} \).