7. Calculez $$ \iiint_{E} x^{2} d V $$, où $$ E $$ est le solide à l'intérieur du cylindre $$ x^{2}+y^{2}=1 $$, au-dessus du plan $$ z=0 $$ et sous le cône $$ z^{2}=4 x^{2}+4 y^{2} $$

Question

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Nous souhaitons calculer
$$
I=\iiint_{E} x^2\, dV,
$$
où $$E$$ est le solide délimité par le cylindre $$x^2+y^2=1$$, par le plan $$z=0$$ et par le cône $$z^2=4x^2+4y^2$$.

**1. Passage en coordonnées cylindriques**

En coordonnées cylindriques, on a :
$$
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z,
$$
et l'élément volumique est
$$
dV=r\,dz\,dr\,d\theta.
$$
La fonction $$x^2$$ devient
$$
x^2=r^2\cos^2\theta.
$$

**2. Description du domaine $$E$$**

- Le cylindre $$x^2+y^2=1$$ se traduit par $$r=1$$ donc $$0\le r\le 1$$ et $$0\le \theta\le 2\pi$$.
- Le plan $$z=0$$ fixe la borne inférieure $$z=0$$.
- Le cône $$z^2=4x^2+4y^2$$ se réécrit en coordonnées cylindriques par
  $$
  z^2=4r^2\quad \Longrightarrow \quad z=2r,
  $$
  (en prenant la solution positive puisque $$z\ge0$$).

Donc, pour un $$r$$ donné, $$z$$ varie de $$0$$ à $$2r$$.

**3. Mise en place de l’intégrale**

L’intégrale devient alors
$$
I=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1}\int_{z=0}^{2r} \left(r^2\cos^2\theta\right) r\,dz\,dr\,d\theta.
$$
On simplifie la fonction sous l’intégrale :
$$
r^2\cos^2\theta\cdot r=r^3\cos^2\theta.
$$
Ainsi,
$$
I=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1}\int_{z=0}^{2r} r^3\cos^2\theta\,dz\,dr\,d\theta.
$$

**4. Intégration par rapport à $$z$$**

La variable $$z$$ n’apparaît que dans la limite :
$$
\int_{z=0}^{2r}dz=2r.
$$
L’intégrale devient alors
$$
I=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1} r^3\cos^2\theta \left(2r\right)\,dr\,d\theta = 2\int_{\theta=0}^{2\pi}\cos^2\theta\,d\theta\int_{r=0}^{1} r^4\,dr.
$$

**5. Calcul de l’intégrale en $$r$$**

On a
$$
\int_{r=0}^{1} r^4\,dr=\left[\frac{r^5}{5}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{5}.
$$

**6. Calcul de l’intégrale en $$\theta$$**

Utilisons l’identité trigonométrique
$$
\cos^2\theta=\frac{1+\cos(2\theta)}{2}.
$$
Alors,
$$
\int_{0}^{2\pi}\cos^2\theta\,d\theta=\int_{0}^{2\pi}\frac{1+\cos(2\theta)}{2}\,d\theta=\frac{1}{2}\left[\int_{0}^{2\pi}d\theta+\int_{0}^{2\pi}\cos(2\theta)\,d\theta\right].
$$
La deuxième intégrale s’annule :
$$
\int_{0}^{2\pi}\cos(2\theta)\,d\theta=0,
$$
donc
$$
\int_{0}^{2\pi}\cos^2\theta\,d\theta=\frac{1}{2}(2\pi)=\pi.
$$

**7. Conclusion**

On a donc
$$
I=2\cdot \pi \cdot \frac{1}{5}=\frac{2\pi}{5}.
$$

La valeur de l’intégrale est donc
$$
\boxed{\frac{2\pi}{5}}.
$$
La valeur de l'intégrale $$ \iiint_{E} x^{2} \, dV $$ est $$ \frac{2\pi}{5} $$.

Calculez , où est le solide à l’intérieur du
cylindre , au-dessus du plan et sous le cône

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