- I parte. Resmalve las sig, derivados de funciomes truganoret Iuvarses (1) $$ f(x)=\operatorname{sen}^{-1}\left(\sqrt{e^{x^{3}}}\right) f^{\prime}(x) $$

Question

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Para derivar la función $$ f(x) = \arcsin\left(\sqrt{e^{x^{3}}}\right) $$, seguiremos los pasos de la regla de la cadena. A continuación, se detalla el proceso paso a paso:

### Paso 1: Identificar las funciones internas
La función $$ f(x) $$ está compuesta por dos funciones:
1. **Función externa:** $$ \arcsin(u) $$
2. **Función interna:** $$ u = \sqrt{e^{x^{3}}} = e^{\frac{x^{3}}{2}} $$

### Paso 2: Aplicar la regla de la cadena
La derivada de $$ f(x) = \arcsin(u) $$ respecto a $$ x $$ se obtiene aplicando la regla de la cadena:

$$
f'(x) = \frac{d}{dx} \left[ \arcsin(u) \right] = \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \cdot \frac{du}{dx}
$$

### Paso 3: Calcular la derivada de la función interna $$ u $$
Primero, derivamos $$ u = e^{\frac{x^{3}}{2}} $$:

$$
\frac{du}{dx} = e^{\frac{x^{3}}{2}} \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{x^{3}}{2} \right) = e^{\frac{x^{3}}{2}} \cdot \frac{3x^{2}}{2} = \frac{3x^{2}}{2} e^{\frac{x^{3}}{2}}
$$

### Paso 4: Sustituir $$ u $$ y $$ \frac{du}{dx} $$ en la derivada de $$ f(x) $$
Reemplazamos $$ u $$ y $$ \frac{du}{dx} $$ en la expresión de $$ f'(x) $$:

$$
f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - \left( e^{\frac{x^{3}}{2}} \right)^{2}}} \cdot \frac{3x^{2}}{2} e^{\frac{x^{3}}{2}}
$$

Simplificamos:

$$
f'(x) = \frac{\frac{3x^{2}}{2} e^{\frac{x^{3}}{2}}}{\sqrt{1 - e^{x^{3}}}}
$$

### Resultado Final
La derivada de la función $$ f(x) $$ es:

$$
f'(x) = \frac{3x^{2} \, e^{\frac{x^{3}}{2}}}{2 \sqrt{1 - e^{x^{3}}}}
$$

### Notas Importantes
- **Dominio de la función:** La función $$ \arcsin(z) $$ está definida para $$ -1 \leq z \leq 1 $$. En este caso, $$ z = \sqrt{e^{x^{3}}} $$, lo cual implica que $$ \sqrt{e^{x^{3}}} \leq 1 $$. Sin embargo, $$ e^{x^{3}/2} $$ es siempre mayor o igual a 1 para $$ x \geq 0 $$, lo que restringe el dominio de $$ f(x) $$ a valores de $$ x $$ tales que $$ e^{x^{3}/2} \leq 1 $$, es decir, $$ x \leq 0 $$.

- **Valor de la derivada:** La expresión obtenida para $$ f'(x) $$ es válida dentro del dominio de la función original.
La derivada de $$ f(x) = \arcsin\left(\sqrt{e^{x^{3}}}\right) $$ es: $$ f'(x) = \frac{3x^{2} \, e^{\frac{x^{3}}{2}}}{2 \sqrt{1 - e^{x^{3}}}} $$ Este resultado se obtiene aplicando la regla de la cadena a la función compuesta y simplificando las expresiones obtenidas.

I parte. Resmalve las sig, derivados de funciomes truganoret Iuvarses
(1)

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

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Solución

Paso 1: Identificar las funciones internas

Paso 2: Aplicar la regla de la cadena

Paso 3: Calcular la derivada de la función interna

Paso 4: Sustituir y en la derivada de

Resultado Final

Notas Importantes

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