$$ \underline{\text { Ejercicio } n^{0} 1} $$ Sea $$ P $$ el punto de coordenadas $$ P(1,0,1) $$ y $$ r $$ la recta de ecuación $$ r:\left\{\begin{array}{l} x+y-z=0 \ x-2 z=1 \end{array}\right. $$ a) Hallar la ecuación en forma continua de una recta que pase por el punto $$ P $$ y sea paralela a la recta $$ r $$. (2,5 puntos) b) Hallar la ecuación general de un plano que pase por el punto $$ P $$ y contenga a la recta $$ r $$. (2,5 puntos) Ejercicio no 2 Dadas las rectas: $$ r \equiv \frac{x}{5}=\frac{y+1}{3}=\frac{z}{4} \quad s:\left\{\begin{array}{l} x=2+3 \lambda \ y=2 \ z=-1 \end{array}\right. $$ a) Determinar la ecuación general del plano paralelo a las rectas $$ r $$ y s y que pasa por el origen de coordenadas. (3 puntos) b) Hallar el ángulo que forman rys.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

**Ejercicio 1**

**a) Recta paralela a $$ r $$ que pasa por $$ P(1,0,1) $$**

La recta $$ r $$ viene definida como la intersección de los planos
$$
x+y-z=0 \quad \text{y} \quad x-2z=1.
$$
Las normales de estos planos son
$$
\mathbf{n}_1=(1,1,-1) \quad \text{y} \quad \mathbf{n}_2=(1,0,-2),
$$
respectivamente.

El vector dirección de $$ r $$ se obtiene con el producto vectorial:
$$
\mathbf{v} = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2.
$$
Calculamos:
$$
\begin{aligned}
v_1 &= 1\cdot(-2)-(-1)\cdot0=-2,\[1mm]
v_2 &= -\Big[1\cdot(-2)-(-1)\cdot1\Big] = -(-2+1)=1,\[1mm]
v_3 &= 1\cdot0-1\cdot1=-1.
\end{aligned}
$$
Así, $$ \mathbf{v}=(-2,\,1,\,-1) $$.

La recta que se pide es paralela a $$ r $$ (por lo tanto, tiene la misma dirección) y pasa por $$ P $$. Su forma paramétrica es:
$$
\begin{cases}
x=1-2t,\[1mm]
y=0+1t,\[1mm]
z=1- t.
\end{cases}
$$
Para expresarla en forma continua se escribe:
$$
\frac{x-1}{-2}=\frac{y-0}{1}=\frac{z-1}{-1}.
$$

---

**b) Plano que pasa por $$ P(1,0,1) $$ y contiene la recta $$ r $$**

El plano buscado contiene a la recta $$ r $$ y, por tanto, incluye la dirección $$ \mathbf{v}=(-2,\,1,\,-1) $$. Además, necesita otro vector contenido en el plano. Se obtiene uno tomando un punto cualquiera $$ A $$ sobre $$ r $$ y construyendo el vector $$ \overrightarrow{AP} $$.

Para hallar $$ A $$, parametrizamos $$ r $$. Sea $$ t=0 $$; entonces, de las ecuaciones de $$ r $$ (usando la parametrización que se obtuvo en el apartado anterior de $$ r $$):
$$
\begin{cases}
x=1+2\cdot0=1,\[1mm]
y=-1-0=-1,\[1mm]
z=0.
\end{cases}
$$
Así, $$ A(1,-1,0) $$.

El vector $$ \overrightarrow{AP} $$ es:
$$
\overrightarrow{AP}=P-A=(1-1,\,0-(-1),\,1-0)=(0,\,1,\,1).
$$

La normal al plano se obtiene como el producto vectorial de los vectores $$ \mathbf{v} $$ y $$ \overrightarrow{AP} $$:
$$
\mathbf{n} = \mathbf{v}\times\overrightarrow{AP} = (-2,\,1,\,-1)\times (0,\,1,\,1).
$$
Calculamos:
$$
\begin{aligned}
n_1 &= 1\cdot1-(-1)\cdot1 = 1+1=2,\[1mm]
n_2 &= -\Big[ (-2)\cdot1-(-1)\cdot0 \Big] = -(-2-0)=2,\[1mm]
n_3 &= (-2)\cdot1-1\cdot0 = -2.
\end{aligned}
$$
Por lo tanto, $$ \mathbf{n}=(2,\,2,-2) $$, que se puede simplificar a $$ (1,1,-1) $$.

La ecuación del plano que pasa por $$ P(1,0,1) $$ es:
$$
1\,(x-1)+1\,(y-0)-1\,(z-1)=0,
$$
es decir,
$$
x-1+y-z+1=0 \quad \Longrightarrow \quad x+y-z=0.
$$

---

**Ejercicio 2**

Se tienen las rectas:
$$
r: \frac{x}{5}=\frac{y+1}{3}=\frac{z}{4} \quad \text{y} \quad s: 
\begin{cases}
x=2+3\lambda,\[1mm]
y=2,\[1mm]
z=-1.
\end{cases}
$$

**a) Plano paralelo a $$ r $$ y $$ s $$ que pasa por el origen**

La recta $$ r $$ en forma paramétrica (sea $$ t $$ el parámetro) es:
$$
\begin{cases}
x=5t,\[1mm]
y=3t -1,\[1mm]
z=4t.
\end{cases}
$$
Por lo tanto, su vector dirección es $$ \mathbf{v}_r=(5,\,3,\,4) $$.

La recta $$ s $$ tiene como vector dirección:
$$
\mathbf{v}_s=(3,\,0,\,0).
$$

Un plano paralelo a ambas rectas debe tener como direcciones a $$ \mathbf{v}_r $$ y $$ \mathbf{v}_s $$; de modo que la normal del plano es perpendicular a ambos y se obtiene mediante:
$$
\mathbf{n} = \mathbf{v}_r\times\mathbf{v}_s.
$$
Calculamos:
$$
\begin{aligned}
n_1 &= 3\cdot0-4\cdot0=0,\[1mm]
n_2 &= -\Big( 5\cdot0-4\cdot3 \Big) = -(-12)=12,\[1mm]
n_3 &= 5\cdot0-3\cdot3= -9.
\end{aligned}
$$
Es decir, $$ \mathbf{n}=(0,\,12,-9) $$ que se puede simplificar dividiendo por 3:
$$
\mathbf{n}=(0,\,4,-3).
$$

La ecuación general del plano es:
$$
0\,(x-0)+4\,(y-0)-3\,(z-0)=0,
$$
o bien,
$$
4y-3z=0.
$$

---

**b) Ángulo entre las rectas $$ r $$ y $$ s $$**

Recordamos que el ángulo $$\theta$$ entre dos rectas se obtiene a partir de sus vectores directores mediante:
$$
\cos\theta=\frac{\mathbf{v}_r\cdot \mathbf{v}_s}{\|\mathbf{v}_r\|\|\mathbf{v}_s\|}.
$$

Con:
$$
\mathbf{v}_r=(5,\,3,\,4) \quad \text{y} \quad \mathbf{v}_s=(3,\,0,\,0),
$$
se tiene:
$$
\mathbf{v}_r\cdot \mathbf{v}_s=5\cdot3+3\cdot0+4\cdot0=15.
$$
Las normas son:
$$
\|\mathbf{v}_r\|=\sqrt{5^2+3^2+4^2}=\sqrt{25+9+16}=\sqrt{50}=5\sqrt{2},
$$
$$
\|\mathbf{v}_s\|=\sqrt{3^2+0^2+0^2}=3.
$$
Por lo tanto,
$$
\cos\theta=\frac{15}{5\sqrt{2}\cdot3}=\frac{15}{15\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
$$
Dado que $$\cos(45^\circ)=\frac{1}{\sqrt{2}}$$, concluimos que:
$$
\theta=45^\circ.
$$
**Ejercicio 1** **a) Recta paralela a $$ r $$ que pasa por $$ P(1,0,1) $$:** $$ \frac{x-1}{-2} = \frac{y}{1} = \frac{z-1}{-1} $$ **b) Plano que pasa por $$ P(1,0,1) $$ y contiene la recta $$ r $$:** $$ x + y - z = 0 $$ **Ejercicio 2** **a) Plano paralelo a $$ r $$ y $$ s $$ que pasa por el origen:** $$ 4y - 3z = 0 $$ **b) Ángulo entre $$ r $$ y $$ s $$:** $$ 45^\circ $$

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

Mind Expander

preguntas relacionadas

Latest Geometry Questions