15. Un prisma retto ha per base un triangolo isoscele avente l'area di $$ 240 \mathrm{~cm}^{2} $$ e la base lunga 20 cm . Sapendo che l'altezza del prisma è i $$ 5 / 9 $$ del perimetro di base, calcola l'area della superficie totale del solido.

Question

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1. L'area del triangolo base è data da
   $$
   \frac{1}{2} \cdot \text{base} \cdot h = 240,
   $$
   dove la base è $$20\, \text{cm}$$ e $$h$$ è l'altezza corrispondente.
   
2. Risolvendo per $$h$$:
   $$
   \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot h = 240 \quad \Rightarrow \quad 10h = 240 \quad \Rightarrow \quad h = \frac{240}{10} = 24\, \text{cm}.
   $$
   
3. Essendo il triangolo isoscele, gli altri due lati (le facce congruenti) si calcolano con il teorema di Pitagora, considerando che la mediana relativa alla base divide la base in due segmenti da $$10\, \text{cm}$$ ciascuno:
   $$
   l = \sqrt{h^2 + 10^2} = \sqrt{24^2 + 10^2} = \sqrt{576 + 100} = \sqrt{676} = 26\, \text{cm}.
   $$
   
4. Il perimetro del triangolo base è:
   $$
   P = 20 + 26 + 26 = 72\, \text{cm}.
   $$
   
5. L'altezza del prisma è $$ \frac{5}{9} $$ del perimetro, quindi:
   $$
   H = \frac{5}{9} \cdot 72 = 5 \cdot 8 = 40\, \text{cm}.
   $$
   
6. L'area laterale del prisma è data dalla somma delle aree delle tre facce rettangolari, ognuna avente un lato uguale alla lunghezza di un lato del triangolo e l'altro lato pari all'altezza del prisma:
   $$
   A_{\text{laterale}} = P \cdot H = 72 \cdot 40 = 2880\, \text{cm}^2.
   $$
   
7. L'area totale della superficie del prisma include anche le due basi:
   $$
   A_{\text{totale}} = 2 \cdot A_{\text{base}} + A_{\text{laterale}} = 2 \cdot 240 + 2880 = 480 + 2880 = 3360\, \text{cm}^2.
   $$
   
La superficie totale del solido è dunque $$3360\, \text{cm}^2$$.
L'area totale del prisma è $$3360\, \text{cm}^{2}$$.

Un prisma retto ha per base un triangolo isoscele avente l’area di e la
base lunga 20 cm . Sapendo che l’altezza del prisma è i del perimetro di base,
calcola l’area della superficie totale del solido.

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Un prisma retto ha per base un triangolo isoscele avente l’area di e la base lunga 20 cm . Sapendo che l’altezza del prisma è i del perimetro di base, calcola l’area della superficie totale del solido.