Высоты \( A A_{1}, B B_{1} \) и \( C C_{1} \) оотроугольного треугольника \( A B C \) пересекаютоя в точке \( H \). Найди \( B C \), если \( A H=9 \sqrt{3} \) и \( \angle B A C=60^{\circ} \).

Давайте решим задачу шаг за шагом. **Дано:** - Треугольник \( ABC \) остроугольный. - Ортоцентр \( H \). - \( AH = 9\sqrt{3} \). - Угол \( \angle BAC = 60^\circ \). **Необходимо найти:** Длину стороны \( BC \). **Решение:** 1. **Связь ортоцентра и радиуса описанной окружности:** В любом треугольнике формула для расстояния от вершины до ортоцентра \( AH \) выражается через радиус описанной окружности \( R \) и угол \( A \): \[ AH = 2R \cos A \] Подставляем известные значения: \[ 9\sqrt{3} = 2R \cos 60^\circ \] Поскольку \( \cos 60^\circ = 0.5 \): \[ 9\sqrt{3} = 2R \times 0.5 \Rightarrow 9\sqrt{3} = R \] Таким образом, радиус описанной окружности \( R = 9\sqrt{3} \). 2. **Нахождение стороны \( BC \):** В треугольнике сторона \( BC \) противоположна углу \( A \). Связь между стороной, радиусом описанной окружности и углом выражается формулой: \[ BC = 2R \sin A \] Подставляем известные значения: \[ BC = 2 \times 9\sqrt{3} \times \sin 60^\circ \] Поскольку \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \): \[ BC = 2 \times 9\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 9 \times 3 = 27 \] **Ответ:** Длина стороны \( BC \) равна \( 27 \).