3 Partiendo de cada una de las siguientes expresiones, llega mediante identidades a los resultados que se in- dican: $$ \begin{array}{ll} ext { a) }(x+3)^{2}-\left(x^{2}+x+6 ight) & ightarrow 5 x+3 \ ext { b) }(x+2) \cdot(x+6)-(x+2) \cdot(x+5) & ightarrow x+2 \ ext { c) }\left(x^{2}+1 ight) \cdot(x+1) \cdot(x-1) & ightarrow x^{4}-1 \ ext { d) }\left(x^{2}-1 ight)-(x-1)^{2} & ightarrow 2(x-1) \ ext { e) }(a+b)^{2}-(a-b)^{2} & ightarrow 4 a b\end{array} $$

Question

3 Partiendo de cada una de las siguientes expresiones, llega mediante identidades a los resultados que se in- dican: $$ \begin{array}{ll}	ext { a) }(x+3)^{2}-\left(x^{2}+x+6ight) & ightarrow 5 x+3 \ 	ext { b) }(x+2) \cdot(x+6)-(x+2) \cdot(x+5) & ightarrow x+2 \ 	ext { c) }\left(x^{2}+1ight) \cdot(x+1) \cdot(x-1) & ightarrow x^{4}-1 \ 	ext { d) }\left(x^{2}-1ight)-(x-1)^{2} & ightarrow 2(x-1) \ 	ext { e) }(a+b)^{2}-(a-b)^{2} & ightarrow 4 a b\end{array} $$

UpStudy AI · Accepted Answer

1. Para $$ (x+3)^2 - \left(x^2+x+6\right) $$:

- Expandir $$ (x+3)^2 $$:
     $$
     (x+3)^2 = x^2 + 6x + 9
     $$
   - Sustituir y restar:
     $$
     x^2 + 6x + 9 - \left(x^2 + x + 6\right)
     $$
   - Agrupar términos semejantes:
     $$
     (x^2 - x^2) + (6x - x) + (9 - 6) = 5x + 3
     $$

2. Para $$ (x+2)(x+6) - (x+2)(x+5) $$:

- Sacar factor común $$ x+2 $$:
     $$
     (x+2)\left[(x+6) - (x+5)\right]
     $$
   - Simplificar la diferencia:
     $$
     (x+6) - (x+5) = 1
     $$
   - Resultado:
     $$
     (x+2) \cdot 1 = x+2
     $$

3. Para $$ (x^2+1)(x+1)(x-1) $$:

- Notar que:
     $$
     (x+1)(x-1) = x^2 - 1
     $$
   - Entonces:
     $$
     (x^2+1)(x^2-1)
     $$
   - Aplicar la identidad de la diferencia de cuadrados:
     $$
     (x^2+1)(x^2-1) = x^4 - 1
     $$

4. Para $$ \left(x^2-1\right) - (x-1)^2 $$:

- Expandir $$ (x-1)^2 $$:
     $$
     (x-1)^2 = x^2 - 2x + 1
     $$
   - Sustituir en la expresión:
     $$
     \left(x^2-1\right) - \left(x^2-2x+1\right)
     $$
   - Agrupar términos semejantes:
     $$
     x^2 - 1 - x^2 + 2x - 1 = 2x - 2
     $$
   - Factorizar:
     $$
     2(x - 1)
     $$

5. Para $$ (a+b)^2 - (a-b)^2 $$:

- Expandir ambos cuadrados:
     $$
     (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
     $$
     $$
     (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
     $$
   - Sustraer:
     $$
     \left(a^2 + 2ab + b^2\right) - \left(a^2 - 2ab + b^2\right)
     $$
   - Simplificar:
     $$
     a^2 - a^2 + 2ab + 2ab + b^2 - b^2 = 4ab
     $$
1. $$ (x+3)^2 - (x^2 + x + 6) = 5x + 3 $$ 2. $$ (x+2)(x+6) - (x+2)(x+5) = x + 2 $$ 3. $$ (x^2 + 1)(x+1)(x-1) = x^4 - 1 $$ 4. $$ (x^2 - 1) - (x - 1)^2 = 2(x - 1) $$ 5. $$ (a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab $$

3 Partiendo de cada una de las siguientes expresiones,
llega mediante identidades a los resultados que se in-
dican:

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