P1. (25 puntos) Una empresa que se dedica a prestar servicios de consultoría sobre aspectos publici-
tarios realizó encuestas acerca de los costos de publicidad y determinó que las funciones de costos
al tomar en cuenta los costos de publicidad y de demanda de servicios de consultoría, son:

Donde en la función de costos, es el costo de prestar servicios al considerar los costos de
publicidad, y en la función de demanda p es el precio de cada servicio que se prestó y x es el
número de servicios prestados.
(a) (15 ptos) Utlizando el criterio de la segunda derivada, determine e interprete el número de
servicios que maximiza la utilidad.

Ask by Whittaker Peters. in Chile

Jan 05,2025

Question

P1. (25 puntos) Una empresa que se dedica a prestar servicios de consultoría sobre aspectos publici-
tarios realizó encuestas acerca de los costos de publicidad y determinó que las funciones de costos
al tomar en cuenta los costos de publicidad y de demanda de servicios de consultoría, son:

Donde en la función de costos, es el costo de prestar servicios al considerar los costos de
publicidad, y en la función de demanda p es el precio de cada servicio que se prestó y x es el
número de servicios prestados.
(a) (15 ptos) Utlizando el criterio de la segunda derivada, determine e interprete el número de
servicios que maximiza la utilidad.

Ask by Whittaker Peters. in Chile

Jan 05,2025

UpStudy AI · Accepted Answer

Para maximizar la utilidad de la empresa, que en este contexto se interpreta como la **utilidad (beneficio)**, debemos seguir los siguientes pasos:

### 1. **Definir la Utilidad**

La utilidad $$ U(x) $$ se calcula como la diferencia entre los **ingresos** y los **costos**:

$$
U(x) = \text{Ingresos} - \text{Costos} = R(x) - C(x)
$$

Donde:
- $$ R(x) $$ es la función de ingresos.
- $$ C(x) $$ es la función de costos.

### 2. **Calcular la Función de Ingresos**

La función de demanda $$ p(x) $$ nos indica el precio por servicio según el número de servicios prestados $$ x $$:

$$
p(x) = 55 - \frac{x}{1000}
$$

Los ingresos $$ R(x) $$ se obtienen multiplicando el precio por la cantidad de servicios:

$$
R(x) = p(x) \cdot x = \left(55 - \frac{x}{1000}\right) \cdot x = 55x - 0.001x^2
$$

### 3. **Determinar la Función de Utilidad**

Restamos los costos a los ingresos:

$$
U(x) = R(x) - C(x) = \left(55x - 0.001x^2\right) - \left(1200 + 25x - 0.0001x^2\right)
$$

Simplificando:

$$
U(x) = 55x - 0.001x^2 - 1200 - 25x + 0.0001x^2 = 30x - 0.0009x^2 - 1200
$$

### 4. **Encontrar el Punto Crítico usando la Primera Derivada**

Derivamos la función de utilidad respecto a $$ x $$:

$$
U'(x) = \frac{dU}{dx} = 30 - 0.0018x
$$

Igualamos a cero para encontrar el punto crítico:

$$
30 - 0.0018x = 0 \implies x = \frac{30}{0.0018} = 16666.\overline{6}
$$

### 5. **Verificar la Concavidad con la Segunda Derivada**

Calculamos la segunda derivada para confirmar que se trata de un máximo:

$$
U''(x) = \frac{d^2U}{dx^2} = -0.0018
$$

Como $$ U''(x) < 0 $$, la función es cóncava y el punto crítico corresponde a un **máximo**.

### 6. **Conclusión**

El número de servicios que **maximiza la utilidad** es:

$$
x = 16\,667 \text{ servicios}
$$

**Interpretación:** Para maximizar el beneficio, la empresa debe prestar aproximadamente **16,667 servicios**.
Para maximizar la utilidad, la empresa debe prestar **16,667 servicios**.

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