Data la seguente funzione: \( f(x)=e^{\frac{x^{2}}{x+3}} \) la funzione: a. ha un asintoto orizzontale di equazione \( y=5 \) per \( x \rightarrow-\infty \) b. ha un asintoto orizzontale di equazione \( y=0 \) per \( x \rightarrow-\infty \) c. ha un asintoto obliquo di equazione \( y=x \) d. non ha asintoto orizzontale e. ha un asintoto orizzontale di equazione \( y=0 \) per \( x \rightarrow+\infty \)

La funzione data è \( f(x) = e^{\frac{x^{2}}{x+3}} \). Analizziamo il comportamento della funzione per determinare gli asintoti. 1. **Per \( x \rightarrow -\infty \):** - L'esponente \(\frac{x^{2}}{x+3}\) può essere approssimato come \(\frac{x^{2}}{x} = x\) per \( x \) molto negativo. - Quindi, \( f(x) \approx e^{x} \). - Quando \( x \rightarrow -\infty \), \( e^{x} \) tende a 0. - Pertanto, la funzione ha un asintoto orizzontale di equazione \( y = 0 \) per \( x \rightarrow -\infty \). 2. **Per \( x \rightarrow +\infty \):** - L'esponente \(\frac{x^{2}}{x+3}\) può essere approssimato come \( x \). - Quindi, \( f(x) \approx e^{x} \). - Quando \( x \rightarrow +\infty \), \( e^{x} \) tende a \( +\infty \). - Non c'è asintoto orizzontale per \( x \rightarrow +\infty \). 3. **Asintoti obliqui:** - Per avere un asintoto obliquo, la funzione dovrebbe approssimarsi a una retta del tipo \( y = mx + b \) quando \( x \) tende a \( \pm\infty \). - Nel nostro caso, \( f(x) \) tende a 0 o \( +\infty \), quindi non ci sono asintoti obliqui. Considerando le opzioni: - **a.** Falsa, poiché l'asintoto orizzontale per \( x \rightarrow -\infty \) è \( y = 0 \), non \( y = 5 \). - **b.** Corretta, come dimostrato. - **c.** Falsa, non esiste un asintoto obliquo. - **d.** Falsa, esiste un asintoto orizzontale. - **e.** Falsa, poiché per \( x \rightarrow +\infty \) la funzione tende a \( +\infty \). **Risposta corretta:** **b. ha un asintoto orizzontale di equazione \( y=0 \) per \( x \rightarrow-\infty \)**