1) Dada la recta: $$ L: x-k=\frac{y}{k}=\frac{z-k}{-2 k} $$ y el plano $$ \pi: 4 x-2 y+z+d=0 $$. Encuentre los valores de las constantes $$ k $$ y $$ d $$ tales que: 1.1) La recta $$ L $$ está contenida en el plano $$ \pi $$. 1.2) El punto $$ P(1,0,1) \in L $$ y la distancia del punto $$ P $$ al plano $$ \pi $$ sea igual a $$ \frac{6}{\sqrt{21}} $$.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Para resolver el problema, primero analizaremos la recta $$ L $$ y el plano $$ \pi $$.

La recta $$ L $$ está dada por la ecuación paramétrica:

$$
L: x = k + t, \quad y = kt, \quad z = k - 2kt
$$

donde $$ t $$ es un parámetro.

El plano $$ \pi $$ está definido por la ecuación:

$$
4x - 2y + z + d = 0
$$

### 1.1) La recta $$ L $$ está contenida en el plano $$ \pi $$

Para que la recta $$ L $$ esté contenida en el plano $$ \pi $$, todos los puntos de la recta deben satisfacer la ecuación del plano. Sustituyendo las ecuaciones paramétricas de $$ L $$ en la ecuación del plano:

$$
4(k + t) - 2(kt) + (k - 2kt) + d = 0
$$

Simplificamos:

$$
4k + 4t - 2kt + k - 2kt + d = 0
$$

Agrupando términos:

$$
(4 + k) + (4 - 2k - 2k)t + d = 0
$$

Para que esta ecuación sea válida para todos los valores de $$ t $$, los coeficientes de $$ t $$ y el término independiente deben ser cero:

1. Coeficiente de $$ t $$:
   $$
   4 - 4k = 0 \implies k = 1
   $$

2. Término independiente:
   $$
   4 + k + d = 0 \implies 4 + 1 + d = 0 \implies d = -5
   $$

Por lo tanto, los valores de $$ k $$ y $$ d $$ que hacen que la recta $$ L $$ esté contenida en el plano $$ \pi $$ son:

$$
k = 1, \quad d = -5
$$

### 1.2) El punto $$ P(1,0,1) \in L $$ y la distancia del punto $$ P $$ al plano $$ \pi $$ sea igual a $$ \frac{6}{\sqrt{21}} $$

Primero, verifiquemos que el punto $$ P(1,0,1) $$ pertenece a la recta $$ L $$ con $$ k = 1 $$:

Sustituyendo $$ k = 1 $$ en las ecuaciones paramétricas de $$ L $$:

$$
x = 1 + t, \quad y = t, \quad z = 1 - 2t
$$

Para que $$ P(1,0,1) $$ esté en $$ L $$:

1. $$ 1 + t = 1 \implies t = 0 $$
2. $$ t = 0 $$
3. $$ 1 - 2t = 1 \implies t = 0 $$

Por lo tanto, $$ P(1,0,1) $$ está en $$ L $$.

Ahora, calculemos la distancia del punto $$ P $$ al plano $$ \pi $$ con $$ d = -5 $$:

La ecuación del plano es:

$$
4x - 2y + z - 5 = 0
$$

Sustituyendo las coordenadas de $$ P(1,0,1) $$:

$$
4(1) - 2(0) + 1 - 5 = 4 + 0 + 1 - 5 = 0
$$

La distancia $$ D $$ de un punto $$ (x_0, y_0, z_0) $$ al plano $$ Ax + By + Cz + D = 0 $$ se calcula como:

$$
D = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}
$$

En nuestro caso:

- $$ A = 4 $$
- $$ B = -2 $$
- $$ C = 1 $$
- $$ D = -5 $$
- $$ (x_0, y_0, z_0) = (1, 0, 1) $$

Calculamos la distancia:

$$
D = \frac{|4(1) - 2(0) + 1 - 5|}{\sqrt{4^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{|0|}{\sqrt{16 + 4 + 1}} = \frac{0}{\sqrt{21}} = 0
$$

Para que la distancia sea igual a $$ \frac{6}{\sqrt{21}} $$, necesitamos ajustar $$ d $$.

Supongamos que $$ d $$ es una constante general. La distancia se convierte en:

$$
D = \frac{|4(1) - 2(0) + 1 + d|}{\sqrt{21}} = \frac{|5 + d|}{\sqrt{21}}
$$

Igualando a $$ \frac{6}{\sqrt{21}} $$:

$$
|5 + d| = 6
$$

Esto nos da dos casos:

1. $$ 5 + d = 6 \implies d = 1 $$
2. $$ 5 + d = -6 \implies d = -11 $$

Por lo tanto, los valores de $$ k $$ y $$ d $$ que satisfacen la condición 1.2 son:

- Para $$ d = 1 $$: $$ k = 1, d = 1 $$
- Para $$ d = -11 $$: $$ k = 1, d = -11 $$

Resumiendo:

1.1) $$ k = 1, d = -5 $$

1.2) $$ k = 1, d = 1 $$ o $$ k = 1, d = -11 $$
1.1) $$ k = 1, d = -5 $$ 1.2) $$ k = 1, d = 1 $$ o $$ k = 1, d = -11 $$

Dada la recta: y el plano .
Encuentre los valores de las constantes y tales que:
1.1) La recta está contenida en el plano .
1.2) El punto y la distancia del punto al plano sea igual a .

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