4. Encuentre una matriz ortogonal \( Q \), (es dectr una matriz tal que \( Q^{t}=Q^{-1} \) ) de forma tat que el producto \( Q^{t} A O \) sea una matriz diagonal. \[ A=\left(\begin{array}{ccc} -1 & 2 & 2 \\ 2 & -1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}\right) \]

Para encontrar una matriz ortogonal \( Q \) tal que el producto \( Q^{t} A Q \) sea diagonal, seguiremos estos pasos: 1. **Verificar la simetría de la matriz \( A \):** \[ A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 2 \\ 2 & -1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix} \] La matriz \( A \) es simétrica (\( A = A^{t} \)), lo que garantiza que es diagonalizable mediante una transformación ortogonal. 2. **Encontrar los valores propios de \( A \):** Resolviendo el determinante \( \det(A - \lambda I) = 0 \): \[ \det(A - \lambda I) = (\lambda + 3)(\lambda^2 - 2\lambda - 7) = 0 \] Las soluciones son: \[ \lambda_1 = -3, \quad \lambda_2 = 1 + 2\sqrt{2}, \quad \lambda_3 = 1 - 2\sqrt{2} \] 3. **Encontrar los vectores propios correspondientes:** - **Para \( \lambda_1 = -3 \):** Resolvemos \( (A + 3I)\mathbf{v} = 0 \): \[ \mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \] - **Para \( \lambda_2 = 1 + 2\sqrt{2} \):** Resolvemos \( (A - \lambda_2 I)\mathbf{v} = 0 \): \[ \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \sqrt{2} \end{pmatrix} \] - **Para \( \lambda_3 = 1 - 2\sqrt{2} \):** Resolvemos \( (A - \lambda_3 I)\mathbf{v} = 0 \): \[ \mathbf{v}_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -\sqrt{2} \end{pmatrix} \] Observamos que los vectores propios son mutuamente ortogonales. 4. **Normalizar los vectores propios para formar la matriz ortogonal \( Q \):** Calculamos las normas: \[ \|\mathbf{v}_1\| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{2}, \quad \|\mathbf{v}_2\| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (\sqrt{2})^2} = 2, \quad \|\mathbf{v}_3\| = 2 \] Los vectores normalizados son: \[ \mathbf{u}_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{u}_2 = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \sqrt{2} \end{pmatrix}, \quad \mathbf{u}_3 = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -\sqrt{2} \end{pmatrix} \] Por lo tanto, la matriz ortogonal \( Q \) es: \[ Q = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} \\ -\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} \\ 0 & \dfrac{\sqrt{2}}{2} & -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix} \] **Verificación:** Al multiplicar \( Q^{t} A Q \), obtenemos una matriz diagonal cuyos elementos son los valores propios de \( A \): \[ Q^{t} A Q = \begin{pmatrix} -3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 + 2\sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 - 2\sqrt{2} \end{pmatrix} \] Esto confirma que \( Q \) es la matriz ortogonal buscada.