$$ \lim _ { x \rightarrow + \infty } 2 ( \frac { x ^ { 3 } - 1 } { x ^ { 3 } - x } ) ^ { x ^ { 2 } + 1 } = $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

El límite es igual a $$ 2e $$.

**Explicación:**

Consideremos el límite:

$$
\lim_{x \to +\infty} 2 \left( \frac{x^3 - 1}{x^3 - x} \right)^{x^2 + 1}
$$

Para $$ x $$ grande, podemos aproximar:

$$
\frac{x^3 - 1}{x^3 - x} = \frac{x^3(1 - \frac{1}{x^3})}{x^3(1 - \frac{1}{x^2})} \approx 1 + \frac{1}{x^2}
$$

Entonces, el límite se convierte en:

$$
2 \left(1 + \frac{1}{x^2}\right)^{x^2 + 1}
$$

Aplicando la propiedad de los límites exponenciales $$ \left(1 + \frac{a}{n}\right)^n \approx e^a $$ cuando $$ n $$ tiende a infinito, obtenemos:

$$
\lim_{x \to +\infty} 2 \left(1 + \frac{1}{x^2}\right)^{x^2} = 2e
$$

Por lo tanto, el límite es $$ 2e $$.
El límite es igual a $$ 2e $$.

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