Hallar la denivada yll= $$ =\sqrt[3]{x^{2}+x+1} $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Para hallar la derivada de la función $$ y = \sqrt[3]{x^{2} + x + 1} $$, seguimos los siguientes pasos:

1. **Reescribir la función usando exponentes fraccionarios:**

$$
   y = (x^{2} + x + 1)^{\frac{1}{3}}
   $$

2. **Aplicar la regla de la cadena:**

La regla de la cadena establece que si $$ y = f(u) $$ y $$ u = g(x) $$, entonces:

$$
   \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
   $$

En este caso, $$ f(u) = u^{\frac{1}{3}} $$ y $$ u = x^{2} + x + 1 $$.

3. **Calcular las derivadas necesarias:**

- Derivada de $$ f(u) $$ respecto a $$ u $$:
     
     $$
     \frac{dy}{du} = \frac{1}{3}u^{-\frac{2}{3}}
     $$

- Derivada de $$ u $$ respecto a $$ x $$:
     
     $$
     \frac{du}{dx} = 2x + 1
     $$

4. **Combinar las derivadas usando la regla de la cadena:**

$$
   \frac{dy}{dx} = \frac{1}{3}(x^{2} + x + 1)^{-\frac{2}{3}} \cdot (2x + 1)
   $$

5. **Simplificar la expresión, si se desea:**

$$
   \frac{dy}{dx} = \frac{2x + 1}{3\sqrt[3]{(x^{2} + x + 1)^{2}}}
   $$

**Respuesta final:**

$$
\frac{dy}{dx} = \frac{2x + 1}{3\sqrt[3]{(x^{2} + x + 1)^{2}}}
$$
La derivada de $$ y = \sqrt[3]{x^{2} + x + 1} $$ es $$ \frac{dy}{dx} = \frac{2x + 1}{3\sqrt[3]{(x^{2} + x + 1)^{2}}}$$.

Hallar la denivada
yll=

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