Chùng minh đàng thức: $$ (\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})+\frac{\sqrt{15}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}-1}-5 \sqrt{\frac{1}{5}}=2 $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Để chứng minh đẳng thức sau:

$$
(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3}) + \frac{\sqrt{15} - \sqrt{5}}{\sqrt{3} - 1} - 5 \sqrt{\frac{1}{5}} = 2
$$

chúng ta thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Tính tích $$(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})$$
Sử dụng công thức nhân hai số bậc hai khác nhau:
$$
(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = a - b
$$
Áp dụng với $$ a = 5 $$ và $$ b = 3 $$:
$$
(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3}) = 5 - 3 = 2
$$

### Bước 2: Tính phân thức $$\frac{\sqrt{15} - \sqrt{5}}{\sqrt{3} - 1}$$
Để đơn giản hóa phân thức này, ta nhân cả tử và mẫu với liên hợp của mẫu số $$\sqrt{3} + 1$$:

$$
\frac{\sqrt{15} - \sqrt{5}}{\sqrt{3} - 1} \times \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{15} - \sqrt{5})(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3})^2 - 1^2}
$$

Tính tử số:
$$
(\sqrt{15} - \sqrt{5})(\sqrt{3} + 1) = \sqrt{15} \cdot \sqrt{3} + \sqrt{15} \cdot 1 - \sqrt{5} \cdot \sqrt{3} - \sqrt{5} \cdot 1
$$
$$
= \sqrt{45} + \sqrt{15} - \sqrt{15} - \sqrt{5} = 3\sqrt{5} - \sqrt{5} = 2\sqrt{5}
$$

Tính mẫu số:
$$
(\sqrt{3})^2 - 1^2 = 3 - 1 = 2
$$

Vậy:
$$
\frac{\sqrt{15} - \sqrt{5}}{\sqrt{3} - 1} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}
$$

### Bước 3: Tính $$ -5 \sqrt{\frac{1}{5}} $$
$$
-5 \sqrt{\frac{1}{5}} = -5 \times \frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{5}{\sqrt{5}} = -\sqrt{5}
$$

### Bước 4: Tổng hợp các kết quả
Thay các giá trị đã tính vào đẳng thức ban đầu:
$$
2 + \sqrt{5} - \sqrt{5} = 2
$$

Vậy, đẳng thức ban đầu được chứng minh đúng:

$$
(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3}) + \frac{\sqrt{15} - \sqrt{5}}{\sqrt{3} - 1} - 5 \sqrt{\frac{1}{5}} = 2
$$
Đẳng thức được chứng minh đúng: $$ (\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3}) + \frac{\sqrt{15} - \sqrt{5}}{\sqrt{3} - 1} - 5 \sqrt{\frac{1}{5}} = 2 $$

Chùng minh đàng thức:

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

Extra Insights

preguntas relacionadas

Latest Algebra Questions