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Calcular el valor de \( E=35\left(6^{2}+1\right)\left(6^{4}+1\right)\left(6^{8}+1\right) \), resuelva mediante el uso de productos notables sin el uso de la calculadora.

Ask by Guzman Mcfarlane. in Ecuador
Jan 22,2025

Solución de tutoría real

Respuesta verificada por el tutor

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El valor de \( E \) es \( 6^{16} - 1 \), que es igual a 2,821,109,907,455.

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Extra Insights

Para resolver la expresión \( E=35\left(6^{2}+1\right)\left(6^{4}+1\right)\left(6^{8}+1\right) \) utilizando productos notables, primero observamos que podemos utilizar el hecho de que \( a^2 + 1 \) se puede factorizar junto con términos que lo preceden en potencias de 2. Notemos que el producto \( (6^4 - 6^2 + 1)(6^4 + 6^2 + 1) = 6^8 + 1 \). Por lo tanto, podemos escribir: \[ E = 35 \cdot (6^2 + 1)(6^4 + 1)(6^8 + 1) = 35 \cdot (6^2 + 1) \cdot (6^8 + 1) \] Expandimos \( (6^2 + 1)(6^4 + 1) \) más directamente como: \[ (6^2 + 1)(6^4 + 1) = 6^6 + 6^2 + 6^4 + 1 \] Ahora sumamos todo y lo factorizamos nuevamente si es posible: \[ E = 35 \cdot (6^2 + 1)(6^4 + 1)(6^8 + 1) = 35 \cdot (6^{16} - 1)/(6^2 - 1) \] Calculando los términos uno por uno nos da: \[ = 35 \cdot \frac{6^{16} - 1}{35} = 6^{16} - 1 \] Finalmente, evaluamos \( 6^{16} \) como \( (6^4)^4 = 1296^4 \), pero como eso es un número muy grande, podemos simplemente dejar la respuesta en la forma: \[ E = 6^{16} - 1 \] Esto se puede evaluar si se desea encontrar su valor numérico final.

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