Euclide $$ \operatorname{pog} 739 $$ (ITDD Un trapezio isoscele $$ A B C D $$ r inscritto in una semicirconferenza di diametro $$ \overline{A B}=2 r $$ ela misura della sea alienza è la metà del raggio. Determina l'area del trapezio. $$ \left[\frac{(2+\sqrt{3})}{4} r^{2}\right] $$

Question

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Per determinare l'area del trapezio isoscele $$ ABCD $$ inscritto in una semicirconferenza di diametro $$ \overline{AB} = 2r $$ e con la misura della sua altezza pari alla metà del raggio, seguiamo i seguenti passi:

1. **Identificazione delle dimensioni**:
   - Il diametro della semicirconferenza è $$ 2r $$, quindi il raggio $$ R $$ è $$ r $$.
   - L'altezza $$ h $$ del trapezio è la metà del raggio, quindi $$ h = \frac{r}{2} $$.

2. **Base maggiore e base minore**:
   - La base maggiore $$ AB $$ è uguale al diametro della semicirconferenza, quindi $$ AB = 2r $$.
   - La base minore $$ CD $$ deve essere determinata. Poiché il trapezio è isoscele, possiamo utilizzare il teorema di Pitagora per trovare la lunghezza di $$ CD $$.

3. **Calcolo della base minore**:
   - Consideriamo il triangolo rettangolo formato dalla metà della base maggiore, l'altezza e la metà della base minore. La metà della base maggiore è $$ r $$ (poiché $$ AB = 2r $$).
   - Usando il teorema di Pitagora:
     $$
     r^2 = \left(\frac{CD}{2}\right)^2 + h^2
     $$
     Sostituendo $$ h = \frac{r}{2} $$:
     $$
     r^2 = \left(\frac{CD}{2}\right)^2 + \left(\frac{r}{2}\right)^2
     $$
     $$
     r^2 = \left(\frac{CD}{2}\right)^2 + \frac{r^2}{4}
     $$
     Moltiplicando per 4 per eliminare il denominatore:
     $$
     4r^2 = CD^2 + r^2
     $$
     $$
     3r^2 = CD^2
     $$
     $$
     CD = r\sqrt{3}
     $$

4. **Calcolo dell'area del trapezio**:
   - L'area $$ A $$ di un trapezio è data dalla formula:
     $$
     A = \frac{(AB + CD) \cdot h}{2}
     $$
   - Sostituendo i valori trovati:
     $$
     A = \frac{(2r + r\sqrt{3}) \cdot \frac{r}{2}}{2}
     $$
     $$
     A = \frac{(2 + \sqrt{3}) \cdot r^2}{4}
     $$

Quindi, l'area del trapezio isoscele $$ ABCD $$ è:
$$
\left[\frac{(2+\sqrt{3})}{4} r^{2}\right]
$$
L'area del trapezio isoscele $$ ABCD $$ è $$ \frac{(2+\sqrt{3})}{4} r^{2} $$.

Euclide

(ITDD Un trapezio isoscele r inscritto in una semicirconferenza di diametro ela misura della sea alienza è la metà del raggio. Determina l’area del trapezio.

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