Цилиндр описан около прямой призмы, в
основании которой прямоугольный треугольник
с катетами длиной 7 см и 13 см.
Известно, что диагональ большей грани
призмы образует с плоскостью основания угол
величиной 45 градусов.
Определи площадь полной поверхности
цилиндра.
$ц и л$ см .

Ask by Gray Estrada. in Russia

Mar 28,2025

Question

Цилиндр описан около прямой призмы, в
основании которой прямоугольный треугольник
с катетами длиной 7 см и 13 см.
Известно, что диагональ большей грани
призмы образует с плоскостью основания угол
величиной 45 градусов.
Определи площадь полной поверхности
цилиндра.
$ц и л$ см .

Ask by Gray Estrada. in Russia

Mar 28,2025

UpStudy AI · Accepted Answer

1. Так как основание призмы – прямоугольный треугольник с катетами $$7$$ см и $$13$$ см, то его гипотенуза равна
$$
\sqrt{7^2+13^2}=\sqrt{49+169}=\sqrt{218}.
$$

2. Для прямоугольного треугольника радиус описанной окружности равен половине длины гипотенузы. Тогда радиус основания цилиндра (так как цилиндр описан около призмы, а основание призмы вписано в круг) равен
$$
R=\frac{\sqrt{218}}{2}.
$$

3. В прямой призме боковые грани являются прямоугольниками, построенными на сторонах треугольника. Выберем ту грань, которая имеет наибольшую сторону основания – грань, где одной стороной является гипотенуза $$ \sqrt{218} $$. Пусть высота призмы равна $$ h $$. Тогда диагональ этого прямоугольника равна
$$
d=\sqrt{h^2+(\sqrt{218})^2}=\sqrt{h^2+218}.
$$
Проекция диагонали на плоскость основания равна стороне $$\sqrt{218}$$, а угол между диагональю и плоскостью основания определяется соотношением
$$
\tan\theta=\frac{h}{\sqrt{218}}.
$$
По условию $$\theta=45^\circ$$, откуда
$$
\tan45^\circ=1=\frac{h}{\sqrt{218}} \quad\Longrightarrow\quad h=\sqrt{218}.
$$

4. Таким образом, получаем, что цилиндр имеет радиус
$$
R=\frac{\sqrt{218}}{2}
$$
и высоту
$$
H=\sqrt{218}.
$$

5. Полная поверхность цилиндра состоит из двух оснований и боковой поверхности. Формула полной поверхности цилиндра:
$$
S_{\text{цил.}}=2\pi R^2+2\pi R H.
$$
Найдём сначала $$R^2$$:
$$
R^2=\left(\frac{\sqrt{218}}{2}\right)^2=\frac{218}{4}=\frac{109}{2}.
$$

6. Подставляем найденные значения:
$$
S_{\text{цил.}}=2\pi\left(\frac{109}{2}\right)+2\pi\left(\frac{\sqrt{218}}{2}\right)\sqrt{218} =109\pi+2\pi\left(\frac{218}{2}\right).
$$
Упростим второй член:
$$
2\pi\left(\frac{218}{2}\right)=218\pi.
$$

7. Итоговая площадь полной поверхности цилиндра:
$$
S_{\text{цил.}}=109\pi+218\pi=327\pi \, \text{см}^2.
$$

Ответ: $$ S_{\text{цил.}}=327\pi $$.
Полная поверхность цилиндра равна $$327\pi$$ см².

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

Mind Expander

preguntas relacionadas

Latest Geometry Questions