En el espacio tridimensional tenemos el punto, la recta y el plano siguientes:

a) Encontrar el punto A intersección del plano con una recta S. Esta recta
es una recta paralcla a la rectar y que pasa por el punto .
(b) Hallar ed ángulo que forma la recta ry el plano .

Ask by Osborne Cook. in Spain

Mar 24,2025

Question

En el espacio tridimensional tenemos el punto, la recta y el plano siguientes:

a) Encontrar el punto A intersección del plano con una recta S. Esta recta
es una recta paralcla a la rectar y que pasa por el punto .
(b) Hallar ed ángulo que forma la recta ry el plano .

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Mar 24,2025

UpStudy AI · Accepted Answer

**a) Cálculo del punto $$ A $$**

1. La ecuación de la recta $$ r $$ está dada por el sistema
   $$
   \begin{cases}
   x+y-1=0,\[6pt]
   x+z+1=0.
   \end{cases}
   $$
   Elegimos el parámetro $$ t $$ y establecemos $$ x=t $$. Entonces:
   - De $$ x+y-1=0 $$ se deduce que:
     $$
     y=1-t.
     $$
   - De $$ x+z+1=0 $$ se deduce que:
     $$
     z=-t-1.
     $$
     
   Las ecuaciones paramétricas de $$ r $$ son:
   $$
   r:\quad x=t,\quad y=1-t,\quad z=-t-1.
   $$
   El vector dirección de $$ r $$ es, por tanto,
   $$
   \vec{v}=(1,-1,-1).
   $$

2. Se define la recta $$ S $$ que es paralela a $$ r $$ y pasa por el punto $$ P(-7,3,4) $$. Su vector dirección es el mismo: $$ \vec{v}=(1,-1,-1) $$. Las ecuaciones paramétricas de $$ S $$ quedan:
   $$
   S:\quad x=-7+t,\quad y=3-t,\quad z=4-t.
   $$

3. El plano $$ \pi $$ está dado por:
   $$
   \pi: \quad x+2y-5z+5=0.
   $$
   Sustituimos las expresiones paramétricas de $$ S $$ en la ecuación del plano:
   $$
   (-7+t)+2(3-t)-5(4-t)+5=0.
   $$
   
4. Desarrollemos la ecuación:
   $$
   \begin{aligned}
   &-7+t+6-2t-20+5t+5=0,\[4mm]
   &\left(t-2t+5t\right) + \left(-7+6-20+5\right)=0,\[4mm]
   &4t -16=0.
   \end{aligned}
   $$
   Despejamos $$ t $$:
   $$
   4t=16\quad\Longrightarrow\quad t=4.
   $$

5. Finalmente, sustituimos $$ t=4 $$ en las ecuaciones paramétricas de $$ S $$ para obtener el punto $$ A $$:
   $$
   \begin{aligned}
   x&=-7+4=-3,\[4mm]
   y&=3-4=-1,\[4mm]
   z&=4-4=0.
   \end{aligned}
   $$
   Por lo tanto, el punto de intersección es:
   $$
   A(-3,-1,0).
   $$

**b) Cálculo del ángulo entre la recta $$ r $$ y el plano $$ \pi $$**

1. Recordamos que el ángulo $$ \theta $$ entre una recta y un plano se relaciona con el ángulo $$ \alpha $$ entre el vector dirección de la recta y el vector normal al plano mediante:
   $$
   \theta=90^\circ-\alpha.
   $$
   Es decir,
   $$
   \sin\theta=\cos\alpha.
   $$

2. El vector dirección de $$ r $$ es:
   $$
   \vec{v}=(1,-1,-1).
   $$
   El plano $$ \pi: x+2y-5z+5=0 $$ tiene como vector normal:
   $$
   \vec{n}=(1,2,-5).
   $$

3. Calculemos el producto punto:
   $$
   \vec{v}\cdot\vec{n}=1\cdot1+(-1)\cdot2+(-1)\cdot(-5)=1-2+5=4.
   $$

4. Calculemos las normas:
   $$
   \|\vec{v}\|=\sqrt{1^2+(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3},
   $$
   $$
   \|\vec{n}\|=\sqrt{1^2+2^2+(-5)^2}=\sqrt{1+4+25}=\sqrt{30}.
   $$

5. Entonces, el coseno del ángulo $$ \alpha $$ entre $$ \vec{v} $$ y $$ \vec{n} $$ es:
   $$
   \cos\alpha=\frac{|\vec{v}\cdot\vec{n}|}{\|\vec{v}\|\|\vec{n}\|}=\frac{4}{\sqrt{3}\sqrt{30}}=\frac{4}{\sqrt{90}}=\frac{4}{3\sqrt{10}}.
   $$
   
6. Dado que $$ \sin\theta=\cos\alpha $$, se tiene:
   $$
   \sin\theta=\frac{4}{3\sqrt{10}},
   $$
   y, por lo tanto:
   $$
   \theta=\arcsin\left(\frac{4}{3\sqrt{10}}\right).
   $$

Resumiendo, las respuestas son:
- $$ A(-3,-1,0) $$.
- El ángulo entre la recta $$ r $$ y el plano $$ \pi $$ es $$ \theta=\arcsin\left(\frac{4}{3\sqrt{10}}\right) $$.
**a) Punto de Intersección $$ A $$:** El punto $$ A $$ donde la recta $$ S $$ interseca el plano $$ \pi $$ es $$ A(-3, -1, 0) $$. **b) Ángulo entre la Recta $$ r $$ y el Plano $$ \pi $$:** El ángulo formado entre la recta $$ r $$ y el plano $$ \pi $$ es $$ \theta = \arcsin\left(\frac{4}{3\sqrt{10}}\right) $$.

En el espacio tridimensional tenemos el punto, la recta y el plano siguientes:

a) Encontrar el punto A intersección del plano con una recta S. Esta recta
es una recta paralcla a la rectar y que pasa por el punto .
(b) Hallar ed ángulo que forma la recta ry el plano .

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a) Encontrar el punto A intersección del plano con una recta S. Esta recta
es una recta paralcla a la rectar y que pasa por el punto .
(b) Hallar ed ángulo que forma la recta ry el plano .