Encuentre los valores de $$ a $$ para que $$ y=\frac{1}{3} x^{3}+a x^{2}+(a+6) x+3 $$ sea siempre creciente.

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Para que la función $$ y = \frac{1}{3}x^{3} + ax^{2} + (a + 6)x + 3 $$ sea **siempre creciente**, es necesario que su derivada primera sea **positiva para todo $$ x $$**. 1. **Calcular la derivada primera:** $$ y' = \frac{d}{dx}\left( \frac{1}{3}x^{3} + ax^{2} + (a + 6)x + 3 \right) = x^{2} + 2a x + (a + 6) $$ 2. **Condición para que $$ y' > 0 $$ para todo $$ x $$:** La expresión $$ y' = x^{2} + 2a x + (a + 6) $$ es una **función cuadrática** con coeficiente principal positivo ($$ 1 > 0 $$). Para que esta cuadrática sea siempre positiva, su **discriminante** debe ser negativo. El discriminante ($$ \Delta $$) de una cuadrática $$ Ax^{2} + Bx + C $$ es: $$ \Delta = B^{2} - 4AC $$ Aplicando esto a nuestra derivada: $$ \Delta = (2a)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (a + 6) = 4a^{2} - 4a - 24 $$ Para que la derivada sea siempre positiva: $$ \Delta < 0 \quad \Rightarrow \quad 4a^{2} - 4a - 24 < 0 $$ Simplificando la desigualdad: $$ a^{2} - a - 6 < 0 $$ 3. **Resolver la desigualdad cuadrática:** Encontramos las raíces de la ecuación $$ a^{2} - a - 6 = 0 $$: $$ a = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2} $$ Esto da las soluciones: $$ a = 3 \quad \text{y} \quad a = -2 $$ La desigualdad $$ a^{2} - a - 6 < 0 $$ se cumple para valores de $$ a $$ entre las raíces: $$ -2 < a < 3 $$ 4. **Conclusión:** La función $$ y $$ es siempre creciente si y solo si el parámetro $$ a $$ satisface: $$ -2 < a < 3 $$ **Respuesta Final:** Todos los valores de $$ a $$ entre –2 y 3. Es decir, $$ -2 < a < 3 $$. Los valores de $$ a $$ que hacen que la función $$ y = \frac{1}{3}x^{3} + a x^{2} + (a + 6)x + 3 $$ sea siempre creciente son aquellos que están entre –2 y 3.

Encuentre los valores de para que sea
siempre creciente.

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