160 Dati i punti $$ A\left(2 k^{2}-3 ; 5+2 k ight), B(1 ; 3 k-1) $$ determinare $$ \begin{array}{l} ext { Dalo parametro } k ext { affinchè il segmento } A B ext { sia } \ ext { il valore del paral } \ ext { parallelo alla retta di equazione } 5 x-2 y+3=0\end{array} $$

Question

160 Dati i punti $$ A\left(2 k^{2}-3 ; 5+2 kight), B(1 ; 3 k-1) $$ determinare $$ \begin{array}{l}	ext { Dalo parametro } k 	ext { affinchè il segmento } A B 	ext { sia } \ 	ext { il valore del paral } \ 	ext { parallelo alla retta di equazione } 5 x-2 y+3=0\end{array} $$

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Abbiamo due punti dipendenti dal parametro k:

A = (2k² – 3, 5 + 2k)  e  B = (1, 3k – 1).

Vogliamo trovare k in modo che il segmento AB sia parallelo alla retta di equazione

5x – 2y + 3 = 0.

Perché due rette (o segmenti) siano parallele, è necessario e sufficiente che abbiano la stessa pendenza.

Passo 1. Calcoliamo la pendenza della retta data.

Riscriviamo l'equazione della retta in forma esplicita:
 5x – 2y + 3 = 0 ⟹ –2y = –5x – 3 ⟹ y = (5/2)x + 3/2.
Quindi la pendenza (m) della retta è m = 5/2.

Passo 2. Calcoliamo la pendenza del segmento AB.

La pendenza è data da:
 m_AB = (y_B – y_A) / (x_B – x_A).

Sostituendo i valori:
 y_A = 5 + 2k,  y_B = 3k – 1;
 x_A = 2k² – 3,  x_B = 1.

Quindi,
 m_AB = [(3k – 1) – (5 + 2k)] / [1 – (2k² – 3)]
     = [3k – 1 – 5 – 2k] / [1 – 2k² + 3]
     = (k – 6) / (4 – 2k²).

Passo 3. Poniamo m_AB uguale a m della retta:
 (k – 6) / (4 – 2k²) = 5/2.

Passo 4. Risolviamo l'equazione:

Moltiplichiamo entrambi i membri per (4 – 2k²) e per 2 per eliminare il denominatore:
 2(k – 6) = 5(4 – 2k²).

Svolgiamo:
 2k – 12 = 20 – 10k².

Portiamo tutti i termini a sinistra:
 10k² + 2k – 12 – 20 = 0 ⟹ 10k² + 2k – 32 = 0.

Dividiamo l'equazione per 2 per semplificare:
 5k² + k – 16 = 0.

Passo 5. Risolviamo l'equazione quadratica:
Utilizziamo la formula risolutiva:
 k = [–b ± √(b² – 4ac)] / (2a),
dove a = 5, b = 1, c = –16.

Calcoliamo il discriminante:
 Δ = 1² – 4·5·(–16) = 1 + 320 = 321.

Quindi,
 k = (–1 ± √321) / (2·5) = (–1 ± √321) / 10.

Conclusione:
I valori di k per cui il segmento AB è parallelo alla retta 5x – 2y + 3 = 0 sono

k = (–1 + √321) / 10  oppure  k = (–1 – √321) / 10.
The values of $$ k $$ that make segment $$ AB $$ parallel to the line $$ 5x - 2y + 3 = 0 $$ are $$ k = \frac{-1 + \sqrt{321}}{10} $$ and $$ k = \frac{-1 - \sqrt{321}}{10} $$.

160 Dati i punti determinare $è$

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