**Paso 1: Escribir la ecuación característica**

Para la ecuación diferencial 
\[
y'' + 4y' + 3y = 0,
\]
asumimos una solución del tipo 
\[
y = e^{rx}.
\]
Sustituyendo en la ecuación diferencial, obtenemos la ecuación característica:
\[
r^2 + 4r + 3 = 0.
\]

**Paso 2: Resolver la ecuación característica**

Factorizamos el trinomio:
\[
r^2 + 4r + 3 = (r+1)(r+3) = 0.
\]
Por lo tanto, las raíces son:
\[
r_1 = -1 \quad \text{y} \quad r_2 = -3.
\]

**Paso 3: Escribir la solución general**

Dado que las raíces son reales y distintas, la solución general de la ecuación diferencial es:
\[
y(x) = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-3x},
\]
donde \( C_1 \) y \( C_2 \) son constantes arbitrarias.

**Respuesta Final:**

\[
y(x) = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-3x}
\]