$$ \int \frac { 4 x ^ { 3 } d x } { 9 x ^ { 8 } + \sqrt { 5 } } $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Para resolver la integral

$$
\int \frac{4x^3\, dx}{9x^8 + \sqrt{5}},
$$

seguimos los siguientes pasos:

### Paso 1: Sustitución

Notamos que el denominador $$9x^8 + \sqrt{5}$$ se puede simplificar si realizamos una sustitución adecuada. Observemos que $$x^8 = (x^4)^2$$, lo que sugiere la siguiente sustitución:

$$
u = x^4 \quad \Rightarrow \quad du = 4x^3\, dx.
$$

Reorganizando, obtenemos:

$$
4x^3\, dx = du.
$$

### Paso 2: Sustituir en la Integral

Sustituyendo $$u$$ en la integral original:

$$
\int \frac{4x^3\, dx}{9x^8 + \sqrt{5}} = \int \frac{du}{9u^2 + \sqrt{5}}.
$$

### Paso 3: Integrar con Respecto a $$u$$

La integral resultante es:

$$
\int \frac{du}{9u^2 + \sqrt{5}}.
$$

Esta es una integral de la forma:

$$
\int \frac{du}{a u^2 + b} = \frac{1}{\sqrt{a b}} \arctan\left(\frac{u \sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right) + C,
$$

donde $$a = 9$$ y $$b = \sqrt{5}$$. Aplicando la fórmula:

$$
\int \frac{du}{9u^2 + \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \sqrt{5}}} \arctan\left(\frac{u \sqrt{9}}{\sqrt{\sqrt{5}}}\right) + C.
$$

Simplificando:

$$
\sqrt{9 \cdot \sqrt{5}} = 3 \cdot 5^{1/4},
$$
$$
\sqrt{\sqrt{5}} = 5^{1/4}.
$$

Por lo tanto:

$$
\frac{1}{\sqrt{9 \cdot \sqrt{5}}} = \frac{1}{3 \cdot 5^{1/4}},
$$
$$
\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{\sqrt{5}}} = \frac{3}{5^{1/4}}.
$$

Finalmente:

$$
\int \frac{du}{9u^2 + \sqrt{5}} = \frac{1}{3 \cdot 5^{1/4}} \arctan\left(\frac{3u}{5^{1/4}}\right) + C.
$$

### Paso 4: Reemplazar $$u$$ por $$x^4$$

Recordando que $$u = x^4$$, sustituimos de nuevo:

$$
\frac{1}{3 \cdot 5^{1/4}} \arctan\left(\frac{3x^4}{5^{1/4}}\right) + C.
$$

Simplificando la expresión:

$$
\frac{1}{3 \sqrt{5}} \arctan\left(\frac{3x^4}{\sqrt{5}}\right) + C.
$$

### Resultado Final

Por lo tanto, la integral resuelta es:

$$
\int \frac{4x^3\, dx}{9x^8 + \sqrt{5}} = \frac{1}{3 \sqrt{5}} \arctan\left(\frac{3x^4}{\sqrt{5}}\right) + C,
$$

donde $$C$$ es la constante de integración.
La integral se resuelve mediante sustitución, llevando a: $$ \int \frac{4x^3\, dx}{9x^8 + \sqrt{5}} = \frac{1}{3 \sqrt{5}} \arctan\left(\frac{3x^4}{\sqrt{5}}\right) + C $$ donde $$C$$ es la constante de integración.

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

Paso 1: Sustitución

Paso 2: Sustituir en la Integral

Paso 3: Integrar con Respecto a

Paso 4: Reemplazar por

Resultado Final

Beyond the Answer

preguntas relacionadas

Latest Calculus Questions