4) $$ \frac{4 x-8}{x^{2}-x-2}=3 $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Решим уравнение:

$$
\frac{4x - 8}{x^{2} - x - 2} = 3
$$

**Шаг 1: Переносим все члены уравнения в одну сторону**

$$
\frac{4x - 8}{x^{2} - x - 2} - 3 = 0
$$

**Шаг 2: Приводим к общему знаменателю**

$$
\frac{4x - 8 - 3(x^{2} - x - 2)}{x^{2} - x - 2} = 0
$$

**Шаг 3: Упрощаем числитель**

Раскрываем скобки:

$$
4x - 8 - 3x^{2} + 3x + 6 = 0
$$

Собираем подобные члены:

$$
-3x^{2} + 7x - 2 = 0
$$

**Шаг 4: Решаем квадратное уравнение**

Домножим уравнение на $$-1$$ для удобства:

$$
3x^{2} - 7x + 2 = 0
$$

Вычисляем дискриминант:

$$
D = (-7)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25
$$

Находим корни уравнения:

$$
x = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{7 \pm 5}{6}
$$

Получаем два корня:

$$
x_{1} = \frac{12}{6} = 2
$$
$$
x_{2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
$$

**Шаг 5: Проверяем допустимость корней**

Необходимо убедиться, что найденные корни не делают знаменатель равным нулю.

Для $$x = 2$$:

$$
x^{2} - x - 2 = 4 - 2 - 2 = 0
$$

Знаменатель равен нулю, следовательно, $$x = 2$$ не является допустимым корнем.

Для $$x = \frac{1}{3}$$:

$$
\left(\frac{1}{3}\right)^{2} - \frac{1}{3} - 2 = \frac{1}{9} - \frac{3}{9} - \frac{18}{9} = -\frac{20}{9} \neq 0
$$

Таким образом, единственный допустимый корень:

$$
x = \frac{1}{3}
$$

**Ответ:** $$x = \frac{1}{3}$$
$$ x = \frac{1}{3} $$

Solución de inteligencia artificial de Upstudy