Evaluar el siguiente determinante. $$ \left|\begin{array}{ccc}0 & 1 & -6 \ 1 & -6 & -5 \ -3 & 3 & 1\end{array}\right| $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Consideremos el determinante

$$
D = \left|\begin{array}{ccc}0 & 1 & -6 \ 1 & -6 & -5 \ -3 & 3 & 1\end{array}\right|.
$$

Utilizaremos la fórmula para el determinante de una matriz $$3 \times 3$$:

$$
D = a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31}).
$$

Identificamos los elementos de la matriz:

$$
a_{11}=0,\quad a_{12}=1,\quad a_{13}=-6,
$$
$$
a_{21}=1,\quad a_{22}=-6,\quad a_{23}=-5,
$$
$$
a_{31}=-3,\quad a_{32}=3,\quad a_{33}=1.
$$

Realicemos el cálculo paso a paso:

1. Primer término:

$$
a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) = 0\left[(-6)(1) - (-5)(3)\right] = 0.
$$

2. Segundo término:

$$
-a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) = -1\left[1\cdot1 - (-5)(-3)\right].
$$
Calculamos el contenido del corchete:

$$
1\cdot1 = 1,\quad (-5)(-3) = 15,\quad \text{entonces} \quad 1 - 15 = -14.
$$
Así, el segundo término es:

$$
-1\cdot(-14) = 14.
$$

3. Tercer término:

$$
a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31}) = -6\left[1\cdot3 - (-6)(-3)\right].
$$
Calculamos el contenido del corchete:

$$
1\cdot3 = 3,\quad (-6)(-3) = 18,\quad \text{entonces} \quad 3 - 18 = -15.
$$
Así, el tercer término es:

$$
-6\cdot(-15) = 90.
$$

Sumamos todos los términos:

$$
D = 0 + 14 + 90 = 104.
$$

Por lo tanto, el valor del determinante es $$104$$.
El determinante es 104.

Evaluar el siguiente determinante.