14. Repartir el número 1134 en cuatro partes cuyos cuadrados sean D.P. a $$ 12 ; 27 ; 48 $$ y 75 . Dar el valor de la media aritmética entre la menor y la mayor de las partes.

Question

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Sean las cuatro partes a distribuir $$ a $$, $$ b $$, $$ c $$ y $$ d $$ y se dice que los cuadrados de estas partes son directamente proporcionales a los números 12, 27, 48 y 75, respectivamente. Esto es:

$$
a^2 : b^2 : c^2 : d^2 = 12 : 27 : 48 : 75.
$$

Podemos escribir:

$$
a^2 = 12k,\quad b^2 = 27k,\quad c^2 = 48k,\quad d^2 = 75k,
$$
para algún número real positivo $$ k $$.

Observamos que los valores de las partes se obtienen tomando la raíz cuadrada:

$$
a = \sqrt{12k} = \sqrt{12}\sqrt{k},\quad 
b = \sqrt{27k} = \sqrt{27}\sqrt{k},\quad 
c = \sqrt{48k} = \sqrt{48}\sqrt{k},\quad 
d = \sqrt{75k} = \sqrt{75}\sqrt{k}.
$$

Simplifiquemos cada término:

$$
\sqrt{12} = 2\sqrt{3},\quad \sqrt{27} = 3\sqrt{3},\quad \sqrt{48} = 4\sqrt{3},\quad \sqrt{75} = 5\sqrt{3}.
$$

Luego, las partes son:

$$
a = 2\sqrt{3}\sqrt{k},\quad b = 3\sqrt{3}\sqrt{k},\quad c = 4\sqrt{3}\sqrt{k},\quad d = 5\sqrt{3}\sqrt{k}.
$$

Si definimos $$ t = \sqrt{3k} $$, se tiene:

$$
a = 2t,\quad b = 3t,\quad c = 4t,\quad d = 5t.
$$

La suma de las cuatro partes es 1134, por lo que:

$$
a + b + c + d = 2t + 3t + 4t + 5t = 14t = 1134.
$$

De donde

$$
t = \frac{1134}{14} = 81.
$$

Por lo tanto, las partes son:

$$
a = 2\times 81 = 162,\quad b = 3\times 81 = 243,\quad c = 4\times 81 = 324,\quad d = 5\times 81 = 405.
$$

La menor parte es $$ a = 162 $$ y la mayor es $$ d = 405 $$.

La media aritmética entre la menor y la mayor es:

$$
\frac{162 + 405}{2} = \frac{567}{2} = 283.5.
$$
La media aritmética entre la menor y la mayor parte es 283.5.

Repartir el número 1134 en cuatro partes
cuyos cuadrados sean D.P. a y 75 .
Dar el valor de la media aritmética entre la
menor y la mayor de las partes.

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Repartir el número 1134 en cuatro partes cuyos cuadrados sean D.P. a y 75 . Dar el valor de la media aritmética entre la menor y la mayor de las partes.