31-40 다음 입체의 부피를 구하여라. 35. 좌표평면들과 평면 $$ 2 x+y+z=4 $$ 로 둘러싸인 사면체 40. 원기둥 $$ x^{2}+y^{2}=r^{2} $$ 과 $$ y^{2}+z^{2}=r^{2} $$ 에 의해 유계된 입체

Question

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35. 사면체의 부피를 구하기 위해, 주어진 평면 $$ 2x + y + z = 4 $$와 좌표 평면 $$ x=0 $$, $$ y=0 $$, $$ z=0 $$이 만나는 점들을 찾아야 합니다.

1. $$ x=0 $$, $$ y=0 $$일 때:
   $$
   z = 4
   $$
   점 $$ (0, 0, 4) $$

2. $$ x=0 $$, $$ z=0 $$일 때:
   $$
   2x + y = 4 \implies y = 4 \quad (x=0)
   $$
   점 $$ (0, 4, 0) $$

3. $$ y=0 $$, $$ z=0 $$일 때:
   $$
   2x = 4 \implies x = 2 \quad (y=0)
   $$
   점 $$ (2, 0, 0) $$

따라서, 사면체의 꼭짓점은 $$ (0, 0, 4) $$, $$ (0, 4, 0) $$, $$ (2, 0, 0) $$, $$ (0, 0, 0) $$입니다.

사면체의 부피 $$ V $$는 다음과 같이 구할 수 있습니다:
$$
V = \frac{1}{6} \left| \begin{vmatrix}
0 & 0 & 4 \
0 & 4 & 0 \
2 & 0 & 0 \
\end{vmatrix} \right|
$$

행렬의 행렬식 계산:
$$
= \frac{1}{6} \left| 0(4 \cdot 0 - 0 \cdot 0) - 0(0 \cdot 0 - 4 \cdot 2) + 4(0 \cdot 0 - 4 \cdot 2) \right|
$$
$$
= \frac{1}{6} \left| 4(-8) \right| = \frac{1}{6} \cdot 32 = \frac{16}{3}
$$

따라서, 사면체의 부피는 $$ \frac{16}{3} $$입니다.

---

40. 원기둥 $$ x^2 + y^2 = r^2 $$와 $$ y^2 + z^2 = r^2 $$에 의해 유계된 입체의 부피를 구하기 위해, 두 원기둥의 교차 부분을 고려해야 합니다.

이 두 원기둥은 각각 $$ z $$축과 $$ x $$축을 중심으로 회전하는 형태입니다. 이 입체의 부피는 다음과 같이 구할 수 있습니다.

1. 원기둥의 부피는 다음과 같습니다:
   - 첫 번째 원기둥 $$ x^2 + y^2 = r^2 $$의 부피는 $$ V_1 = \pi r^2 h $$입니다.
   - 두 번째 원기둥 $$ y^2 + z^2 = r^2 $$의 부피는 $$ V_2 = \pi r^2 h $$입니다.

2. 두 원기둥의 교차 부분의 부피는 다음과 같이 구할 수 있습니다:
   - 이 입체는 두 원기둥의 교차 부분으로, 부피는 $$ V = \frac{16}{3} r^3 $$입니다.

따라서, 원기둥 $$ x^2 + y^2 = r^2 $$와 $$ y^2 + z^2 = r^2 $$에 의해 유계된 입체의 부피는 $$ \frac{16}{3} r^3 $$입니다.
35. 사면체의 부피는 $$ \frac{16}{3} $$입니다. 40. 원기둥에 의해 유계된 입체의 부피는 $$ \frac{16}{3} r^3 $$입니다.

31-40 다음 입체의 부피를 구하여라.
35. 좌표평면들과 평면 로 둘러싸인 사면체
40. 원기둥 과 에 의해 유계된 입체

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