$$ \sqrt [\frac{m}{n}]{ab}\cdot \sqrt [m]{ab}\cdot (\sqrt {ab})^{\frac{4m}{m}}\div (a^{\frac{1}{m}}\frac{}{}b^{\frac{2}{m}})^{2n}: $$

Question

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Vamos a simplificar la expresión:

$$
\sqrt [\frac{m}{n}]{ab} \cdot \sqrt [m]{ab} \cdot (\sqrt {ab})^{\frac{4m}{m}} \div \left(a^{\frac{1}{m}} b^{\frac{2}{m}}\right)^{2n}
$$

### Paso 1: Convertir las raíces en exponentes

Recordemos que $$\sqrt[k]{x} = x^{\frac{1}{k}}$$. Aplicando esto a cada término:

1. $$\sqrt [\frac{m}{n}]{ab} = (ab)^{\frac{n}{m}}$$
2. $$\sqrt [m]{ab} = (ab)^{\frac{1}{m}}$$
3. $$\sqrt{ab} = (ab)^{\frac{1}{2}}$$
4. $$\left(a^{\frac{1}{m}} b^{\frac{2}{m}}\right)^{2n} = a^{\frac{2n}{m}} b^{\frac{4n}{m}}$$

La expresión ahora se ve así:

$$
(ab)^{\frac{n}{m}} \cdot (ab)^{\frac{1}{m}} \cdot \left((ab)^{\frac{1}{2}}\right)^{4} \div \left(a^{\frac{2n}{m}} b^{\frac{4n}{m}}\right)
$$

### Paso 2: Simplificar los exponentes

Simplificamos cada término:

- $$\left((ab)^{\frac{1}{2}}\right)^{4} = (ab)^{2}$$

Ahora, la expresión es:

$$
(ab)^{\frac{n}{m}} \cdot (ab)^{\frac{1}{m}} \cdot (ab)^{2} \div \left(a^{\frac{2n}{m}} b^{\frac{4n}{m}}\right)
$$

### Paso 3: Combinar los exponentes en el numerador

Sumamos los exponentes de $$ab$$ en el numerador:

$$
(ab)^{\frac{n}{m} + \frac{1}{m} + 2} = a^{\frac{n + 1}{m} + 2} \cdot b^{\frac{n + 1}{m} + 2}
$$

### Paso 4: Aplicar la división

Restamos los exponentes del denominador a los del numerador:

$$
\frac{a^{\frac{n + 1}{m} + 2} \cdot b^{\frac{n + 1}{m} + 2}}{a^{\frac{2n}{m}} \cdot b^{\frac{4n}{m}}} = a^{\left(\frac{n + 1}{m} + 2 - \frac{2n}{m}\right)} \cdot b^{\left(\frac{n + 1}{m} + 2 - \frac{4n}{m}\right)}
$$

Simplificando los exponentes:

$$
a^{\frac{1 - n}{m} + 2} \cdot b^{\frac{1 - 3n}{m} + 2}
$$

### Paso 5: Expresar la respuesta final

La expresión simplificada es:

$$
a^{\frac{2m + 1 - n}{m}} \cdot b^{\frac{2m + 1 - 3n}{m}}
$$

O, de manera equivalente:

$$
a^{2 + \frac{1 - n}{m}} \cdot b^{2 + \frac{1 - 3n}{m}}
$$
La expresión simplificada es: $$ a^{2 + \frac{1 - n}{m}} \cdot b^{2 + \frac{1 - 3n}{m}} $$

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