5. Evalúe, con error menor que $$ 10^{-3} $$, las siguientes integrales: $$ \int_{0}^{1 / 2} t^{2} e^{-t^{2}} d t, \int_{0}^{1 / 2} \operatorname{sen}\left(t^{2}\right) d t $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Para aproximar las integrales con error menor que $$10^{-3}$$, usaremos la expansión en series de Taylor de las funciones involucradas y evaluaremos término a término.

---

**1) Cálculo de** $$\displaystyle I_1=\int_{0}^{1/2}t^{2} e^{-t^{2}}\,dt$$

Recordemos que la serie para la exponencial es
$$
e^{-t^2}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\,t^{2n}}{n!}.
$$
Multiplicando por $$t^2$$ obtenemos
$$
t^2e^{-t^2}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\,t^{2n+2}}{n!}.
$$
Integrando término a término en el intervalo $$[0,1/2]$$ tenemos
$$
I_1=\int_{0}^{1/2}t^2e^{-t^2}\,dt=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\int_0^{1/2}t^{2n+2}\,dt=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!(2n+3)}\Bigl(\frac{1}{2}\Bigr)^{2n+3}.
$$

Calculamos los primeros términos:

- Para $$n=0$$:
  $$
  T_0=\frac{1}{0!(3)}\Bigl(\frac{1}{2}\Bigr)^3=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{8}=\frac{1}{24}\approx 0.04167.
  $$
  
- Para $$n=1$$:
  $$
  T_1=-\frac{1}{1!(5)}\Bigl(\frac{1}{2}\Bigr)^5=-\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{32}\approx -\frac{1}{160}=-0.00625.
  $$
  
- Para $$n=2$$:
  $$
  T_2=\frac{1}{2!(7)}\Bigl(\frac{1}{2}\Bigr)^7=\frac{1}{2\cdot7}\cdot\frac{1}{128}=\frac{1}{14\cdot128}\approx 0.000559.
  $$
  
- Para $$n=3$$:
  $$
  T_3=-\frac{1}{3!(9)}\Bigl(\frac{1}{2}\Bigr)^9=-\frac{1}{6\cdot9}\cdot\frac{1}{512}\approx -0.000036.
  $$

Sumando estos términos obtenemos:
$$
I_1\approx 0.04167 - 0.00625 + 0.000559 - 0.000036\approx 0.03594.
$$
La contribución de los términos siguientes es menor que $$10^{-3}$$ y, por tanto, se cumple el error deseado.

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**2) Cálculo de** $$\displaystyle I_2=\int_{0}^{1/2}\sin\bigl(t^2\bigr)\,dt$$

Utilizamos la serie de Taylor para la función $$\sin x$$:
$$
\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\,x^{2n+1}}{(2n+1)!}.
$$
Tomando $$x=t^2$$, se tiene:
$$
\sin(t^2)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\,t^{4n+2}}{(2n+1)!}.
$$
Integrando término a término:
$$
I_2=\int_0^{1/2}\sin(t^2)\,dt=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\int_0^{1/2}t^{4n+2}\,dt
=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!(4n+3)}\Bigl(\frac{1}{2}\Bigr)^{4n+3}.
$$

Calculamos los primeros términos:

- Para $$n=0$$:
  $$
  T_0=\frac{1}{1!(3)}\Bigl(\frac{1}{2}\Bigr)^3=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{8}=\frac{1}{24}\approx 0.04167.
  $$
  
- Para $$n=1$$:
  $$
  T_1=-\frac{1}{3!(7)}\Bigl(\frac{1}{2}\Bigr)^7=-\frac{1}{6\cdot7}\cdot\frac{1}{128}
  = -\frac{1}{42\cdot128}\approx -0.000186.
  $$
  
- Para $$n=2$$: El término involucra $$\Bigl(\frac{1}{2}\Bigr)^{11}$$ y factoriales grandes, por lo que su magnitud es del orden de $$10^{-7}$$ o menor, despreciable para nuestro objetivo.

Sumando:
$$
I_2\approx 0.04167 - 0.000186 \approx 0.04148.
$$
Se cumple que el error es menor a $$10^{-3}$$.

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**Respuestas finales:**

$$
\int_{0}^{1/2}t^{2}e^{-t^{2}}dt\approx 0.03594 \quad \text{y} \quad \int_{0}^{1/2}\sin\bigl(t^{2}\bigr)dt\approx 0.04148.
$$
Las integrales se calculan usando series de Taylor y se aproximan con un error menor que $$10^{-3}$$. El resultado para la primera integral es aproximadamente 0.03594 y para la segunda integral es aproximadamente 0.04148.

Evalúe, con error menor que , las siguientes integrales:

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

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