Ejercicio 19
Calcular el ángulo interno del paralelogramo, cuyos vértices son los puntos
y . Graficar.

Ask by Kelly Murray. in Mexico

Mar 14,2025

Question

Ejercicio 19 Calcular el ángulo interno $$ A $$ del paralelogramo, cuyos vértices son los puntos $$ A(1,1), B(3,5), C(11,6) $$ y $$ D(9,2) $$. Graficar.

UpStudy AI · Accepted Answer

1. Definimos los vértices del paralelogramo:  
   $$
   A(1,1),\quad B(3,5),\quad C(11,6),\quad D(9,2)
   $$

2. Identificamos dos vectores que forman el ángulo en $$ A $$:  
   $$
   \overrightarrow{AB} = B - A = (3-1,\,5-1) = (2,4)
   $$
   $$
   \overrightarrow{AD} = D - A = (9-1,\,2-1) = (8,1)
   $$

3. Calculamos el producto punto de los vectores:  
   $$
   \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = (2)(8) + (4)(1) = 16 + 4 = 20
   $$

4. Calculamos las magnitudes de los vectores:  
   $$
   \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{2^2+4^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}
   $$
   $$
   \|\overrightarrow{AD}\| = \sqrt{8^2+1^2} = \sqrt{64+1} = \sqrt{65}
   $$

5. Utilizamos la fórmula del ángulo entre dos vectores:  
   $$
   \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}}{\|\overrightarrow{AB}\|\|\overrightarrow{AD}\|} = \frac{20}{(2\sqrt{5})(\sqrt{65})} 
   $$
   Combinamos las raíces:
   $$
   (2\sqrt{5})(\sqrt{65}) = 2\sqrt{5\cdot65} = 2\sqrt{325} = 2\sqrt{25\cdot13} = 10\sqrt{13}
   $$
   Así,  
   $$
   \cos(\theta) = \frac{20}{10\sqrt{13}} = \frac{2}{\sqrt{13}}
   $$

6. Calculamos el ángulo $$ \theta $$ (ángulo $$ A $$) mediante función inversa del coseno:  
   $$
   \theta = \arccos\left(\frac{2}{\sqrt{13}}\right)
   $$
   Aproximadamente,  
   $$
   \theta \approx 56.3^\circ
   $$

7. Gráfica del paralelogramo:

- Se ubican los puntos:  
     $$ A(1,1) $$,  
     $$ B(3,5) $$,  
     $$ C(11,6) $$ y  
     $$ D(9,2) $$.

- Se conectan los vértices en el orden $$ A \to B \to C \to D \to A $$.

- Se puede resaltar el ángulo en $$ A $$ formado por los vectores $$ \overrightarrow{AB} $$ y $$ \overrightarrow{AD} $$.

La solución final es:  
$$
\boxed{\theta = \arccos\left(\frac{2}{\sqrt{13}}\right) \approx 56.3^\circ}
$$
El ángulo interno $$ A $$ del paralelogramo es aproximadamente $$ 56.3^\circ $$.

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Calcular el ángulo interno del paralelogramo, cuyos vértices son los puntos
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