3. Zapiši enačbo hiperbole s temeni na ordinatni osi in središčem v koordinatnem izhodišču, ki poteka skozi točko $$ A(1,-6) $$, ena od asimptot pa ima smerni koeficient enak $$ \frac{1}{2} $$.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Najprej zapišemo splošno enačbo hiperbole s središčem v izhodišču, katere vertikalna os je os hiperbole (to pomeni, da sta temeni na ordinatni osi):
$$
\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1.
$$
Temeni hiperbole so $$ (0,a) $$ in $$ (0,-a) $$, asimptoti pa imata enačbi
$$
y = \pm \frac{a}{b} x.
$$

Ker je eden od asimptot podan z $$ \frac{a}{b} = \frac{1}{2} $$, dobimo:
$$
\frac{a}{b} = \frac{1}{2} \quad \Longrightarrow \quad a = \frac{b}{2}.
$$

Hiperbola mora skozi točko $$ A(1,-6) $$, zato v enačbo vstavimo $$ x=1 $$ in $$ y=-6 $$:
$$
\frac{(-6)^2}{a^2} - \frac{1^2}{b^2} = 1 \quad \Longrightarrow \quad \frac{36}{a^2} - \frac{1}{b^2} = 1.
$$
Ker je $$ a = \frac{b}{2} $$, je $$ a^2 = \frac{b^2}{4} $$. Vstavimo to v enačbo:
$$
\frac{36}{\frac{b^2}{4}} - \frac{1}{b^2} = 1 \quad \Longrightarrow \quad \frac{36 \cdot 4}{b^2} - \frac{1}{b^2} = 1.
$$
Sedaj z združevanjem:
$$
\frac{144 - 1}{b^2} = 1 \quad \Longrightarrow \quad \frac{143}{b^2} = 1 \quad \Longrightarrow \quad b^2 = 143.
$$
Iz tega dobimo
$$
a^2 = \frac{b^2}{4} = \frac{143}{4}.
$$

Končna enačba hiperbole je torej:
$$
\frac{y^2}{\frac{143}{4}} - \frac{x^2}{143} = 1.
$$
Lahko jo preoblikujemo tako, da se znebimo ulomkov v imenovalci:
$$
\frac{4y^2}{143} - \frac{x^2}{143} = 1 \quad \Longrightarrow \quad 4y^2 - x^2 = 143.
$$

Tako je zahtevana enačba hiperbole:
$$
\boxed{\frac{y^2}{\frac{143}{4}} - \frac{x^2}{143} = 1 \quad \text{ali} \quad 4y^2 - x^2 = 143.}
$$
The equation of the hyperbola is $$ \frac{y^2}{\frac{143}{4}} - \frac{x^2}{143} = 1 $$ or $$ 4y^2 - x^2 = 143 $$.

Zapiši enačbo hiperbole s temeni na ordinatni osi in središčem v
koordinatnem izhodišču, ki poteka skozi točko , ena od asimptot
pa ima smerni koeficient enak .

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

Extra Insights

preguntas relacionadas

Latest Pre Calculus Questions

Zapiši enačbo hiperbole s temeni na ordinatni osi in središčem v koordinatnem izhodišču, ki poteka skozi točko , ena od asimptot pa ima smerni koeficient enak .