26. $$ (\sqrt{2}-2)^{3} \cdot(\sqrt{2}+2)^{4}+(\sqrt{2}-2)^{4} \cdot(\sqrt{2}+2)^{3}= $$ A) 8 B) $$ 16 \sqrt{2} $$ C) -8 D) $$ -16 \sqrt{2} $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Sea la expresión
$$
(\sqrt{2}-2)^{3}(\sqrt{2}+2)^{4}+(\sqrt{2}-2)^{4}(\sqrt{2}+2)^{3}.
$$

1. Se factoriza extrayendo el factor común $$(\sqrt{2}-2)^{3}(\sqrt{2}+2)^{3}$$:
   $$
   (\sqrt{2}-2)^{3}(\sqrt{2}+2)^{3}\left[(\sqrt{2}+2)+(\sqrt{2}-2)\right].
   $$

2. Se simplifica la suma en el corchete:
   $$
   (\sqrt{2}+2)+(\sqrt{2}-2)=2\sqrt{2}.
   $$

3. Así, la expresión se convierte en:
   $$
   (\sqrt{2}-2)^{3}(\sqrt{2}+2)^{3}\cdot (2\sqrt{2}).
   $$

4. Observa que se tiene
   $$
   (\sqrt{2}-2)^{3}(\sqrt{2}+2)^{3}=\left[(\sqrt{2}-2)(\sqrt{2}+2)\right]^{3}.
   $$

5. Se calcula el producto dentro del corchete utilizando la identidad de producto conjugado:
   $$
   (\sqrt{2}-2)(\sqrt{2}+2)= (\sqrt{2})^2-2^2=2-4=-2.
   $$

6. Por lo tanto,
   $$
   \left[(\sqrt{2}-2)(\sqrt{2}+2)\right]^{3}=(-2)^3=-8.
   $$

7. Finalmente, se multiplica:
   $$
   -8\cdot (2\sqrt{2})=-16\sqrt{2}.
   $$

La respuesta es $$\boxed{-16\sqrt{2}}$$, que corresponde a la opción D.
La respuesta es -16√2, que es la opción D.

A) 8
B)
C) -8
D)

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

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Solución

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A) 8 B) C) -8 D)