\( 5\left(\begin{array}{l}\text { Aufgabe: }(2 \text { Punkte) } \\ \text { Bestimme den Abstand des Punktes } \mathrm{P}(2|-19| 0) \text { von der Ebene } \mathrm{E}:-x_{1}+8 x_{2}-4 x_{3}=8 \text {. } \\ \text { Gib einen weiteren Punkt } \mathrm{Q} \text { an, der den gleichen Abstand zu } \mathrm{E} \text { hat. } \\ \mathbf{1 . 2 5}\end{array}\right. \)

Um den Abstand des Punktes \( P(2, 19, 0) \) von der Ebene \( E: -x_1 + 8x_2 - 4x_3 = 8 \) zu berechnen, verwenden wir die Formel für den Abstand eines Punktes \( (x_0, y_0, z_0) \) von der Ebene \( Ax + By + Cz + D = 0 \), die lautet: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \] Hierbei setzen wir \( A = -1, B = 8, C = -4 \) und \( D = -8 \) ein. Für den Punkt \( P(2, 19, 0) \) erhalten wir: \[ d = \frac{|(-1)(2) + 8(19) - 4(0) - 8|}{\sqrt{(-1)^2 + 8^2 + (-4)^2}} = \frac{| -2 + 152 - 8 |}{\sqrt{1 + 64 + 16}} = \frac{142}{9} \approx 15.78 \] Um einen weiteren Punkt \( Q \) zu finden, der den gleichen Abstand hat, könnten wir einfach den Punkt \( (2, 19, 2) \) wählen. Dieser Punkt liegt ebenfalls in der gleichen senkrechten Linie durch \( P \) und hält den Abstand zu \( E \) konstant. Um sicherzugehen, dass Punkt \( Q(2, 19, 2) \) den gleichen Abstand hat, führen wir wieder die gleiche Abstandberechnung durch. Der Wert wird identisch sein, sodass \( Q \) den gewünschten Abstand zu \( E \) erfüllt!